Jesteś zalogowany jako Gość , Zarejestruj , Przypomnij hasło.
Powrót

Podgląd wydruku

Stan Odkształcenia


  1. Wprowadzenie do kinetyki odkształcenia
  2. Definicja odkształcenia
  3. Tensor odkształceń nieskończenie małych
  4. Literatura

Wprowadzenie do kinetyki odkształcenia

Istnieją dwa podejścia do opisu kinetyki odkształcenia w mechanice ciała stałego:

  1. Sformułowanie materiałowe Lagrange’a, w którym przyjmuje się założenie, że bieżące położenie punktu materiału x jest uzależnione od oryginalnego (bazowego) położenia tego samego punktu X poprzez różniczkowalną funkcję w postaci:
    x = χ(X,t)
    Oryginalne położenie punktu (płożenie odniesienia) jest dane we współrzędnych materiałowych, podczas gdy końcowe położenie punktu jest dane we współrzędnych przestrzennych. Współrzędne materiałowe mogą być uznane jako mechanizm oznaczenia tego samego punktu materiału w różnych chwilach czasu.
  2. Opis przestrzenny Eulera, w którym bieżący czas i położenie w przestrzeni są zmiennymi niezależnymi. To podejście jest częściej stosowane w mechanice płynów, gdzie własności materiału nie zależą od historii odkształcenia. Opis Eulera jest rzadziej stosowany w plastycznej przeróbce metali, jeżeli to dla problemów stacjonarnych (walcowanie, ciągnienie), w których każdy punkt w przestrzeni ma stałą prędkość.
    X = Χ(x,t)

Podsumowując, w podejściu Lagrange’a kluczową jest funkcja opisująca przestrzenne położenie punktu w zależności od pewnego standardowego położenia tego punktu, np. w chwili t = 0. W podejściu Eulera zakładamy istnienie takiej samej funkcji, ale polegamy na bieżącej informacji o stanie punktu materiału, jego bieżącej prędkości. Obydwa podejścia mają zalety, zależnie od zastosowania.

Idź na początek dokumentu

Definicja odkształcenia

Odkształcenie jest miarą deformacji ciała poddanego siłom zewnętrznym.


Wprowadźmy teraz miary odkształcenia materiału, niezależnie od wielkości deformacji i skali czasu. Czyli wielkości podane poniżej odnosić się będą zarówno do opisu Lagrange’a jak i Eulera. Rozważmy wektor dX w bryle materiału, który w wyniku odkształcenia przemieszcza się o wektor u z położenia A w położenie B i zmienia długość oraz kierunek, przechodząc w wektor dx.


2.4 Ilustracja przemieszczenia wektora w materiale podczas odkształcenia

Wprowadźmy pojęcie gradientu odkształcenia P:


Wtedy dx = PdX. Podobną zależność możemy napisać dla przemieszczeń: du = JdX. Macierz J jest Jakobianem lub tensorem gradientu przemieszczeń, która jest określona równaniem:


Jeżeli znamy macierze P i J w całej objętości bryły i w całym rozważanym czasie, możemy otrzymać pełny obraz odkształcenia dla każdego punktu materiału. Macierze P i J nie uwzględniają obrotu bryły, który nie ma wpływu na odkształcenia i naprężenia. Dlatego przy budowie modelu konstytutywnego wygodniej jest posługiwać się miarą odkształcenia niewrażliwą na obrót. Wprowadza się tensor deformacji Greena lub, zależnie od wyboru układu odniesienia, tensor deformacji Cauchy’ego:


Ogólna definicja odkształcenia związana jest z wydłużeniem, czyli ze zmianą przekroju:


gdzie ds, dS - to kwadrat końcowej długości wektorów, odpowiednio dx i dX oraz E:


W powyższym równaniu E jest tensorem odkształcenia, który zachowuje się spójnie i wszystkie składowe E są zero przy braku deformacji. Tensory C i E są symetryczne i eliminują wpływ obrotu bryły sztywnej, w przeciwieństwie do tensorów P i J. Tensory C i E mają trzy wartości własne odpowiadające kierunkom głównym odkształceń. Ponieważ C i E różnią się stałą dodaną do wyrazów na przekątnej, ich kierunki główne są jednakowe.

Idź na początek dokumentu

Tensor odkształceń nieskończenie małych

Przedstawiona definicja odkształcenia oraz tensora odkształcenia dotyczy ogólnego przypadku i jest szczególnie użyteczna przy odkształceniach sprężystych oraz dla małych kroków przyrostów deformacji przy dużych odkształceniach. Obecnie zostanie przedstawiony tensor odkształcenia dla przypadków, gdy przemieszczenie wektora jest od niego znacząco mniejsze, co zapisujemy du << dx

.

Tensor odkształceń w tym przypadku ma postać:


Co można zapisać w postaci macierzowej


W zapisie macierzowym składowe εx, εy, εz nazywane są odkształceniami liniowymi, natomiast γxy, γyzxz odkształceniami postaciowymi - będące wynikiem działania naprężeń stycznych.

Jeśli przemieszczenie wszystkich punktów ciała w kartezjańskim układzie współrzędnych opisuje wektor [u, v, w] to można wyznaczyć odkształcenia liniowe oraz postaciowe. W takim przypadku odkształcenia można obliczyć ze wzorów:

Analogicznie do rozkładu tensora naprężeń (więcej), tensor odkształceń można podzielić na dewiator i aksjator. Aksjator przedstawia odkształcenia czysto objętościowe (sprężyste), natomiast dewjator - odkształcenia postaciowe (plastyczne)

Idź na początek dokumentu

Literatura

  1. Procesy przeróbki plastycznej, pod red. dr hab. inż. J. Sińczak, Wyd. Akapit, Kraków 2002
  2. Morawiecki M., Sadok L., Wosiek E., Przeróbka plastyczna – podstawy teoretyczne, Śląsk, Katowice, 1986
  3. Wagoner R.H., Chenot J.L., Fundamentals of Metal Forming, John Wiley & Sons, Inc, New York, 1997