Title: Zsuwające się klocki
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Dynamika punktu materialnego

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Klocki o masach m_1, m_2 i m_3 są połączone linką (rys.) . Proszę obliczyć przyspieszenie układu oraz naprężenie linek. Współczynnik tarcia klocków o podłoże wynosi f.

Uwagi wstępne

Zadanie dotyczy dynamiki punktu materialnego, czyli interesują nas siły działające na poszczególne części układu oraz ich rezultat. Rozwiązanie zadania zaczynamy od narysowania wszystkich sił, które działają na klocki (ewentualnie w innych zadaniach oprócz mas istotnymi elementami układu mogą być np. miejsca połączenia sprężyn, wtedy również rozważamy działające na ten punkt siły).

Klocki znajdują się w polu grawitacyjnym Ziemi, więc będzie na nie działała siła ciężkości zawsze skierowana ku środkowi Ziemi. W przypadku klocków położonych blisko siebie, gdy pole grawitacyjne przy powierzchni Ziemi można traktować jako jednorodne, jest to kierunek w dół (siły \( \vec{F}_{g1}, \vec{F}_{g2} \) oraz \( \vec{F}_{g3} \)).

Klocki są połączone linkami, więc działają siły naprężenia linek (dla każdej linki para sił o równej wartości, przyłożonych do klocków przymocowanych do danej linki np. \( \vec{T}_{1} \) i \( \vec{T'}_{1} \); naprężenia różnych linek mogą mieć różne wartości ( \( T_{1} \neq T_{2} \)).

Dwa klocki znajdują się na stole, czyli działają na nie siły reakcji podłoża (nazywane również siłami normalnymi, np. \( \vec{N}_{1} \)) oraz styczne do podłoża siły tarcia (np. \( \vec{F}_{t1} \)).

Rysunek z wszystkimi siłami jest przedstawiony poniżej.

Punkty przyłożenia sił na rysunku są zbliżone do rzeczywistych. W chwili obecnej traktujemy klocki jako punkty materialne i wtedy wszystkie siły sprowadza się do środków mas poszczególnych ciał.

Równania ruchu dla klocków

Korzystając z II zasady dynamiki Newtona zapisujemy równania ruchu dla każdego klocka. Równania te są równaniami wektorowymi. Wektorowo dodajemy wszystkie siły, które działają na dany klocek. Proszę zwrócić uwagę, że na przyspieszenie danego klocka nie mają wpływu siły do niego nie przyłożone (bardzo dużo błędów na kolokwiach bierze się z dodania siły, która nie działa bezpośrednio na dany klocek).

$$ \left\{ \begin{array}{ll}
m_1 \cdot \vec{a}_1 =\vec{F}_{g1}+\vec{N}_1+\vec{F}_{t1}+\vec{T}_1\\
m_2 \cdot \vec{a}_2 =\vec{F}_{g2}+\vec{N}_2+\vec{F}_{t2}+\vec{T'}_1+\vec{T}_2\\
m_3 \cdot \vec{a}_3 =\vec{F}_{g3}+\vec{T'}_2
\end{array} \right.
$$

Ponieważ klocki są połączone nierozciągliwą linką, więc wartości przyspieszenia wszystkich klocków są takie same. Wektory przyspieszeń klocków 1 i 2 są równoległe do siebie, więc są równe również wektorowo.

Składowe wektorów

Aby rozwiązać równania ruchu musimy wszystkie wektory rozłożyć na składowe. Najczęściej przyjmuje się układ współrzędnych, którego jedna z osi jest równoległa do kierunku ruchu, a druga prostopadła do niego (czyli niekoniecznie ustalamy "na sztywno", że oś Ox ma kierunek poziomy, a Oy pionowy). Oznacza to, że dla dwóch klocków leżących na stole przyjmujemy, że kierunek osi Ox jest poziomy, a Oy pionowy, natomiast dla klocka trzeciego wygodnie jest przyjąć oś Ox skierowaną pionowo w dół, a oś Oy w prawo (rys.).

Sprowadzamy siły do początków układów współrzędnych dla danych klocków.

W takim przypadku wektory sił działających na klocek pierwszy mają współrzędne:

$$ \vec{F}_{g1} = [0, - m_1g] $$

$$ \vec{F}_{t1} = [-F_{t1}, 0] $$

$$ \vec{N}_{1} = [0, N_1] $$

$$ \vec{T}_{1} = [T_1, 0] $$

Wektor przyspieszenia działający na ten klocek ma składowe:

$$ \vec{a}_{1} = [a, 0] $$

Pytanie kontrolne nr 1

Wektor przyspieszenia klocka nr 2 ma składowe:

$$ \vec{a}_{2} = [a, 0] $$

Wektory sił działających na ten klocek mają składowe:

- $$ \vec{F}_{g2} = [0, - m_2\cdot g] \quad \vec{F}_{t2} = [- F_{t2}, \:0] \quad \vec{T'}_{1} = [- T_1,\:0] \quad \vec{N}_{2} = [0, N_2] \quad \vec{T}_{2} = [T_2,\:0] $$
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- $$ \vec{F}_{g2} = [0, m_2\cdot g] \quad \vec{F}_{t2} = [F_{t2}, \:0] \quad \vec{T'}_{1} = [T_1,\:0] \quad \vec{N}_{2} = [0, N_2] \quad \vec{T}_{2} = [T_2,\:0] $$
Feedback: Niestety nie. Proszę zwrócić uwagę, że zwrot niektórych wektorów jest przeciwny do kierunku osi układu współrzędnych, więc potrzebny jest znak "minus".
- $$ \vec{F}_{g2} = [0, - m_2\cdot g] \quad \vec{F}_{t2} = [0,\:- F_{t2}] \quad \vec{T'}_{1} = [- T_1,\:T_1] \quad \vec{N}_{2} = [N_2, 0] \quad \vec{T}_{2} = [T_2,\:0] $$
Feedback: Niestety nie. Proszę ponownie przerobić lekcję o wektorach.
- $$ \vec{F}_{g2} = - m_2\cdot g \quad \vec{F}_{t2} = - F_{t2} \quad \vec{T'}_{1} = - T_1 \quad \vec{N}_{2} = N_2 \quad \vec{T}_{2} = T_2 $$
Feedback: Niestety nie. Proszę ponownie przerobić lekcję o wektorach.

Pytanie kontrolne nr 2

Wektor przyspieszenia trzeciego klocka ma składowe:

$$ \vec{a}_3 = [a, 0] $$

Proszę zwrócić uwagę, że układ współrzędnych ma tym razem oś Ox zwróconą w dół, a oś Oy w prawo.

Proszę zapisać składowe sił działających na klocek 3. Proszę najpierw napisać \( \vec{F}_{g3} \), następnie wpisać spację i składowe wektora \( \vec{T'}_2 \). Indeksy zapisuje się korzystając z podkreślenia np. \( x_1 \) to x_1. Składowa y'owa wektora powinna być zapisana po przecinku oraz spacji. Przykład: wektor \( \vec{A} \) o składowych \( [A_1, \:A_2] \) powinien być zapisany jako: [A_1, A_2]

- [m_3g, 0] [-T_2, 0]
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. \( \vec{F}_{g3} = [m_3 \cdot g,\:0] \quad \vec{T'}_2 = [-T_2,\:0] \)
- [m_3g,0] [-T_2,0]
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. \( \vec{F}_{g3} = [m_3 \cdot g,\:0] \quad \vec{T'}_2 = [-T_2,\:0] \)
- [m_3*g, 0] [-T_2, 0]
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. \( \vec{F}_{g3} = [m_3 \cdot g,\:0] \quad \vec{T'}_2 = [-T_2,\:0] \)
- [m_3*g,0] [-T_2,0]
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. \( \vec{F}_{g3} = [m_3 \cdot g,\:0] \quad \vec{T'}_2 = [-T_2,\:0] \)
- @#wronganswer#@
Feedback: Niestety nie. Proszę sprawdzić format zapisu lub przypomnieć sobie, jak rozkłada się wektor na składowe w dowolnym układzie współrzędnych. Dodatkowa wskazówka: długości wektorów \( \vec{T}_2 \) oraz \( \vec{T'}_2 \) są takie same.

Składowe równań ruchu

Wszystkie wektory są rozłożone na składowe, więc możemy zapisać równania ruchu dla wszystkich klocków osobno dla składowych x'owych i osobno dla y'owych.

Otrzymujemy następujący układ równań:

$$ \left\{ \begin{array}{ll}
m_1 \cdot a =T_1-F_{t1}\\ m_1 \cdot 0 =N_1-m_{1}\cdot g\\
m_2 \cdot a =T_2-T_1-{F}_{t2}\\ m_2 \cdot 0 =N_2-m_{2}\cdot g\\
m_3 \cdot a =m_{3}\cdot g-T_2\\ m_3 \cdot 0 = 0+0
\end{array} \right.
$$

Zwykle nie zapisuje się równań takich, jak ostatnie, ponieważ nie wnoszą nic do rozwiązania.

Z powyższego układu równań otrzymujemy od razu, że

$$ \left\{ \begin{array}{ll}
N_1=m_{1}\cdot g\\
N_2=m_{2}\cdot g
\end{array} \right.
$$

Korzystając z tak wyliczonych wartości sił normalnych (określenie "normalny" oznacza, że kierunek danej prostej czy siły jest prostopadły do powierzchni), można wyliczyć wartości sił tarcia działających na klocki, ponieważ z definicji wartość siły tarcia jest proporcjonalna do wartości siły normalnej (siły nacisku) oraz współczynnika tarcia. Otrzymujemy więc:

$$ \left\{ \begin{array}{ll}
F_{t1}=f\cdot N_1=fm_1\cdot g\\
F_{t2}=f\cdot N_2=fm_2\cdot g
\end{array} \right.
$$

Kontynuacja rozwiązania

Podstawiamy wartości siły tarcia do równań ruchu i otrzymujemy układ równań:

$$ \left\{ \begin{array}{ll}
m_1 \cdot a =T_1-fm_{1}\cdot g\\
m_2 \cdot a =T_2-T_1-fm_{2}\cdot g\\
m_3 \cdot a =m_{3}\cdot g-T_2
\end{array} \right.
$$

Układ ten najłatwiej jest rozwiązać dodając stronami wszystkie równania:

$$ (m_1+m_2+m_3)a = m_3\cdot g-fm_1\cdot g-fm_2\cdot g $$

Przyspieszenie układu klocków dane jest równaniem:

$$ a = g\cdot \frac{m_3-fm_1-fm_2}{m_1+m_2+m_3} $$

Otrzymane przyspieszenie pozwala wyliczyć kinematyczne równanie ruchu (zależność położenia od czasu) po dwukrotnym scałkowaniu po czasie.

Proszę zwrócić uwagę, że przyspieszenie układu jest równe stosunkowi sumy (wektorowej) wszystkich sił zewnętrznych działających na dany układ do sumy wszystkich mas. Siły naprężenia linek są tzw. siłami wewnętrznymi i kasują się przy dodaniu wszystkich powyższych równań.

Naprężenia linek

Wartości sił naprężenia linek obliczamy podstawiając wartość przyspieszenia ( \( a = g\cdot \frac{m_3-fm_1-fm_2}{m_1+m_2+m_3} \) ) do przekształconych równań z rozwiązywanego przez nas układu równań, czyli:

$$ T_1 = m_1 \cdot a + fm_1 \cdot g $$

$$ T_2 = m_3 \cdot g - m_3 \cdot a $$

Otrzymane wyrażenia należy zapisać w najprostszej postaci, czyli sprowadzić do wspólnego mianownika i ewentualnie wyciągnąć przed nawias to co jest wspólne.

Proszę samodzielnie przeprowadzić rachunek i dopiero po jego skończeniu przejść do następnej strony, żeby sprawdzić wyniki.

Dyskusja wyników

Naprężenia linek wynoszą:

$$ T_1 = g \cdot \frac{m_3m_1(1 + f)}{m_1+m_2+m_3} $$

$$ T_2 = g \cdot \frac{m_3(m_1 + m_2)(1 + f)}{m_1+m_2+m_3} $$

Wraz z wartością przyspieszenia:

$$ a = g\cdot \frac{m_3-fm_1-fm_2}{m_1+m_2+m_3} $$

są one wynikiem zadania.

Proszę zwrócić uwagę, że wartość naprężenia linki drugiej jest większa niż naprężenie linki pierwszej. Jest to wynik logiczny, ponieważ druga linka ciągnie zarówno klocek o masie \( m_1 \) jak i \( m_2 \), a linka pierwsza tylko klocek o masie \( m_1 \).