Title: Nieinercjalny układ odniesienia - winda (H5P)
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Dynamika punktu materialnego

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Na szalce wagi sprężynowej, znajdującej się w windzie, położono ciało o masie \( m \). Jakie będą wskazania wagi sprężynowej jeżeli:

a) winda jedzie do góry z przyspieszeniem o wartości \( a \),

b) winda jedzie do góry z opóźnieniem o wartości \( a \),

c)  winda jedzie na dół z opóźnieniem o wartości \( a \).

Jak uzasadni wskazania wagi obserwator A znajdujący się na klatce schodowej, a jak obserwator B znajdujący się w windzie? Jak nazywa się układ odniesienia, w którym znajduje się obserwator A, a jak ten w którym jest obserwator B?

Uwagi wstępne

Analiza zachowania ciała w układzie przyspieszającym oraz w polu grawitacyjnym stała się podstawą Ogólnej Teorii Względności. Warto więc zwrócić uwagę na efekty, które wydają się proste, a mogą prowadzić do ciekawych i nieoczywistych wniosków.

Zaczniemy od rozważenia windy, która porusza się do góry z pewnym przyspieszeniem. W takiej sytuacji wartość prędkości windy w chwili czasu późniejszej \(v_k \) jest większa niż w chwili wcześniejszej \( v_0 \), a zwroty tych wektorów są do góry, ponieważ w tym kierunku winda się porusza.

Przyspieszenie średnie (w ruchu jednostajnie przyspieszonym równe przyspieszeniu chwilowemu) dane jest równaniem:

$$ \vec{a}_{śr} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_k-\vec{v}_0}{\Delta t} = \vec{a} $$

Z równania tego wynika, że zwrot wektora \( \vec{a} \) jest taki sam, jak zwrot wektora \( \Delta \vec{v} \), czyli w naszym przypadku do góry.

Obserwator na klatce schodowej stwierdzi, że na ciało działa siła ciężkości (w dół) oraz siła sprężystości wagi (w górę).

Wszystkie wektory (prędkości, przyspieszenia, siły) są narysowane schematycznie na rysunku. Proszę zwrócić uwagę, że wektory dotyczące różnych wielkości fizycznych nie są rysowane na tej samej części rysunku, żeby przez pomyłkę nie dodać do siebie wektorów, które dotyczą różnych wielkości.

Uzasadnienie obserwatora z układu inercjalnego dla a).

Obserwator na klatce schodowej jest w układzie inercjalnym. Według niego ciało porusza się z przyspieszeniem \( \vec{a} \) zwróconym do góry. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona:

$$ m\cdot \vec{a} = \vec{F}_s+\: \vec{F}_g \qquad (*) $$

Zapisujemy składowe tych wektorów w układzie współrzędnych, w którym oś Oy jest skierowana w górę (druga z osi jest nieistotna, ponieważ wszystkie składowe poprzeczne do kierunku ruchu mają wartość 0, ruch nasz jest ruchem jednowymiarowym). Otrzymane równanie ruchu ma postać:

$$ m \cdot a = F_s -mg $$

Proszę zwrócić uwagę, że wektory \( \vec{a} \) oraz \( \vec{F}_s \) mają zwroty zgodne z wybranym przez nas kierunkiem osi, więc są dodatnie, a wektor \( \vec{F}_g \) ma zwrot przeciwny do wybranego kierunku, więc jego składowa jest ze znakiem minus.

Po przekształceniu równania \( (*) \) otrzymujemy wartość siły, którą pokaże waga, czyli \( F_s \):

$$ F_s = ma+mg $$

Proszę zwrócić uwagę, że przy zwrocie przyspieszenia w górę wskazanie wagi będzie większe niż ciężar zmierzony, gdyby waga pozostawała w spoczynku lub poruszała się ze stałą prędkością (w obu tych przypadkach przyspieszenie wynosi 0).

Uzasadnieniem otrzymanego wyniku jest równanie \( (*) \) oraz rysunek z rozkładem sił działających na ciało.

Uzasadnienie obserwatora z nieinercjalnego układu odniesienia dla a).

Obserwator w windzie jest w układzie nieinercjalnym. Z jego punktu widzenia ciało się nie porusza (czyli ma przyspieszenie równe 0). Oprócz sił ciężkości i sprężystości, działających na ciało musi według niego działać jeszcze jakaś inna siła, ponieważ siły \( \vec{F}_g \) oraz \( \vec{F}_s \) się nie równoważą i nie byłaby spełniona I zasada dynamiki Newtona (tzw. zasada bezwładności). Tę siłę nazwano siłą bezwładności i zdefiniowano jako:

$$ \vec{F}_B = -m\cdot \vec{a} $$

Siła bezwładności jest więc proporcjonalna do masy ciała, przyspieszenia UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH i zwrócona przeciwnie do zwrotu przyspieszenia układu współrzędnych, którym w naszym przypadku jest winda.

Siły, które zidentyfikuje obserwator w windzie, jako działające na ciało są przedstawione na rysunku:

Równanie ruchu ciała, jakie zapisze obserwator z windy ma postać:

$$ \vec{0} = \vec{F}_s + \vec{F}_g +\vec{F}_B $$

Uwaga: zwykle nie piszę się znaku wektora nad wektorem zerowym.

Pytanie kontrolne 1

column-653.h5p

Odpowiedź dla części a) zadania.

Rozwiązując równanie:

$$ 0\:=\:F_s-mg-ma $$

obserwator w nieinercjalnym układzie odniesienia dostanie taką samą odpowiedź, jak obserwator A, czyli:

$$ F_s = ma+mg $$

Uzasadnienie będzie jednak inne. W przypadku obserwatora B będzie to równanie \( (**) \), a nie \( (*) \). W obu przypadkach równania muszą być powiązane z odpowiednimi rozkładami sił.

Rozwiązanie w przypadku b) - uwagi wstępne

W części b) zadania winda porusza się w górę z opóźnieniem o wartości \( a \). W takiej sytuacji wartość prędkości windy w chwili czasu późniejszej \(v_k \) jest mniejsza niż w chwili wcześniejszej \( v_0 \), a oba wektory mają zwrot do góry, ponieważ w tym kierunku winda się porusza. Odjęcie tych dwóch wektorów, w celu wyliczenia przyspieszenia pokazuje, że wektor \( \Delta \vec{v} \) ma zwrot na dół, czyli przeciwny do kierunku ruchu windy. Z równania:

$$ \vec{a}_{śr} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_k-\vec{v}_0}{\Delta t} = \vec{a} $$

wynika, że zwrot wektora \( \vec{a} \) jest taki sam, jak zwrot wektora \( \Delta \vec{v} \), czyli w naszym przypadku na dół.

Podobnie, jak w części a) zadania obserwator na klatce schodowej stwierdzi, że na ciało działa siła ciężkości (w dół) oraz siła sprężystości wagi (w górę) (rys.).

Równanie ruchu, które zapisze obserwator w inercjalnym układzie odniesienia (obserwator A) ma postać:

$$ m\cdot \vec{a} = \vec{F}_s+\: \vec{F}_g \qquad (***) $$

Rozwiązanie części b) w inercjalnym układzie odniesienia

column-654.h5p

Rozwiązanie części b) w układzie nieinercjalnym

Układem nieinercjalnym podobnie, jak w części a) jest układ związany z windą. Siły działające na ciało znajdujące się na wadze, są pokazane na rysunku:

Wektorowe równanie ruchu zapisanego przez obserwatora w nieinercjalnym układzie odniesienia jest takie samo jak w rozwiązaniu a):

$$ \vec{0} = \vec{F}_s + \vec{F}_g +\vec{F}_B $$

Dopiero po rozłożeniu wektorów na składowe widzimy, że rozwiązujemy odmienne zadanie.

$$ 0\:=\:F_s-mg+ma $$

Otrzymany wynik wskazania wagi, jest oczywiście taki sam, jak otrzymany przez obserwatora w inercjalnym układzie odniesienia, czyli

$$ F_s=\:mg-ma $$

Uwagi wstępne do rozwiązania c)

W części c) zadania winda porusza się na dół z opóźnieniem o wartości \( a \). W takiej sytuacji wartość prędkości windy w chwili czasu późniejszej \(v_k \) jest mniejsza niż w chwili wcześniejszej \( v_0 \), a oba wektory mają zwrot na dół, ponieważ w tym kierunku winda się porusza. Odjęcie tych dwóch wektorów, w celu wyliczenia przyspieszenia pokazuje, że wektor \( \Delta \vec{v} \) ma zwrot do góry, czyli przeciwny do kierunku ruchu windy. Z równania:

$$ \vec{a}_{śr} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_k-\vec{v}_0}{\Delta t} = \vec{a} $$

wynika, że zwrot wektora \( \vec{a} \) jest taki sam, jak zwrot wektora \( \Delta \vec{v} \), czyli w naszym przypadku do góry.

Rozwiązanie części c) w inercjalnym układzie odniesienia

column-655.h5p

Rozwiązanie części c) w nieinercjalnym układzie odniesienia

Obserwator w windzie jest w układzie nieinercjalnym. Podobnie, jak w poprzednich przypadkach z jego punktu widzenia ciało się nie porusza (czyli ma przyspieszenie równe 0). Oprócz sił ciężkości i sprężystości na ciało działa siła bezwładności. Siły działające na ciało według obserwatora w windzie są przedstawione na rysunku:

Równanie ruchu ciała, jakie zapisze obserwator z windy ma postać:

$$ \vec{0} = \vec{F}_s + \vec{F}_g +\vec{F}_B $$

Po rozłożeniu wektora na składowe otrzymujemy:

$$ 0\:=\: F_s-\:mg\:-\:ma $$

Wskazanie windy wynosi więc:

$$ F_s =\:mg+ma $$

Taki sam wynik ustalił obserwator A.

Pytanie kontrolne 2

multiple-choice-656.h5p

Pytanie kontrolne 3

multiple-choice-657.h5p