Title: Gwiazda podwójna
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Pole grawitacyjne

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Gwiazda podwójna: dwie gwiazdy o masie \( M \) każda krążą po wspólnej orbicie wokół środka masy, z okresem \( T \). Proszę obliczyć: prędkość gwiazd oraz promień ich orbity

Wstępna analiza zadania

Obie gwiazdy poruszają się po okręgu wokół środka masy, który znajduje się w połowie odległości pomiędzy nimi (Rys. 1). Gwiazdy traktujemy jako punkty materialne, ponieważ ich rozmiar jest zaniedbywalnie mały  w porównaniu z promieniem orbity, po której się poruszają.

Rys. 1. Obie gwiazdy o masie \( M \) poruszają się po okręgu wokół środka masy.

Zadania z ruchem po okręgu najwygodniej jest rozwiązywać w nieinercjalnym układzie odniesienia. To oznacza, że na każdą z gwiazd oprócz siły przyciągania grawitacyjnego pomiędzy gwiazdami działa również równoważąca ją siła odśrodkowa^1. Siły są zaznaczone na rysunku (Rys. 2).

Rys. 2 Siły działające na gwiazdy w nieinercjalnym układzie odniesienia.

-------------------------------------------------------------------------------------------------

^1 W inercjalnym układzie odniesienia mówimy o sile dośrodkowej. W naszym przypadku rolę siły dośrodkowej pełni siła grawitacji.

Siła grawitacyjna

Izaak Newton podał następujący wzór na siłę oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwiema masami \( m_1 \) oraz \( m_2 \), znajdującymi się w odległości \( r \) od siebie:

$$ \vec{F}_g = - \frac{Gm_1m_2}{r^2} \hat{r} $$,

gdzie \( G \) jest stałą grawitacji, a \( \hat{r} \), wersorem, czyli wektorem jednostkowym o kierunku zgodnym z prostą łączącą środki obu mas. Siła grawitacji jest zawsze przyciągająca, o czym świadczy znak minus w równaniu, dzięki czemu zwrot tej siły jest ku masie wywołującej tą siłę.

Ile wynosi wartość siły grawitacji działającej pomiędzy tymi gwiazdami?

- \( \frac{GM^2}{(2R)^2} \)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Odległość pomiędzy masami wynosi \( 2R \).
- \( - \frac{GM^2}{(2R)^2} \)
Feedback: Niestety nie. Pytanie dotyczyło wartości tej siły, a wartość (moduł) wektora musi być zawsze dodatni.
- \( \frac{GM^2}{R^2} \)
Feedback: Niestety nie. Proszę zwrócić uwagę, że odległość pomiędzy masami nie jest równa \( R \) lecz \( 2R \).
- \( Mg \)
Feedback: Niestety nie. Wzór powyższy dotyczy tylko wartości siły grawitacji na powierzchni Ziemi lub w niewielkich od niej odległościach.

Siła odśrodkowa

Czy wartość siły odśrodkowej w naszym zadaniu jest dana równaniem:

\( F_{od} = \frac{Mv^2}{2R} \),

gdzie \( v \) jest wartością prędkości w ruchu po okręgu?

- Fałsz
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Gwiazdy poruszają się po okręgu o promieniu \( R \), a nie \( 2R \), więc siła odśrodkowa ma wartość \( F_{od} = \frac{Mv^2}{R} \).
- Prawda
Feedback: Niestety nie. Gwiazdy poruszają się po okręgu o promieniu \( R \), a nie \( 2R \), więc siła odśrodkowa ma wartość \( F_{od} = \frac{Mv^2}{R} \).

Równanie ruchu w nieinercjalnym układzie odniesienia

Bierzemy pod uwagę jedną z gwiazd. W nieinercjalnym układzie odniesienia gwiazda pozostaje w spoczynku, więc siła grawitacyjna oraz siła odśrodkowa się równoważą. Równanie ruchu ma postać:

$$ M \cdot 0 = \frac{Mv^2}{R}-\frac{GM^2}{4R^2} \qquad (1) $$,

co oznacza, że wartości obu sił muszą być jednakowe:

$$  \frac{Mv^2}{R} = \frac{GM^2}{4R^2} \qquad (2)$$

Korzystamy z zależności między prędkością liniową \( v \) a kątową \( \omega \):

$$ v = \omega R \qquad (3)$$,

oraz z zależności między prędkością kątową a okresem \( T \):

$$ \omega = \frac{2\pi}{T} \qquad (4)$$,

otrzymując:

$$ v = \frac{2\pi R}{T} \qquad (5)$$

Proszę podstawić równanie (5) do (2) i po przekształceniach sprawdzić wynik \( R \) na następnej stronie lekcji.

Promień orbity gwiazdy podwójnej

Promień orbity gwiazdy podwójnej wyraża się wzorem:

$$ R = \Big( \frac{GMT^2}{16\pi^2} \Big)^{1/3} $$

Prędkość każdej z gwiazd obliczymy podstawiając powyższy wynik do wzoru (5), czyli

$$ v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi}{T} \cdot \Big( \frac{GMT^2}{16\pi^2} \Big)^{1/3} = \Big( \frac{2^3 \pi ^3 GMT^2}{16\pi^2 T^3} \Big)^{1/3} = \Big( \frac{\pi GM}{2T} \Big)^{1/3} $$

Dyskusja

Sposób rozwiązywania zadania taki, jak dla gwiazdy podwójnej występuje bardzo często w różnych zadaniach dotyczących grawitacji. Korzystając z tych samych sił wyprowadza się trzecie prawo Keplera, wylicza pierwszą prędkość kosmiczną oraz wyznacza np. promień orbity satelity geostacjonarnego (czyli pozostającego stale nad tym samym punktem nad powierzchnią Ziemi).

Istotną różnicą między rozwiązaniem dla gwiazdy podwójnej oraz dla wymienionych przeze mnie zadań jest to, że dotyczą satelitów, których masa jest dużo mniejsza niż masa "Słońca" ("Słońcem" nazywam źródło pola grawitacyjnego, jego masa powinna być znacząco duża w porównaniu z satelitą). W tym przypadku środek masy układu znajduje się w punkcie zbliżonym do środka "Słońca". W związku z tym ruch "Słońca" i jego satelity mimo, że jest de facto ruchem po okręgu wokół środka masy można przybliżyć z bardzo dużą dokładnością przez ruch satelity po okręgu (dokładniej po elipsie) wokół "Słońca". Powoduje to równość promienia oraz odległości pomiędzy masami, co trzeba uwzględnić w równaniu ruchu. Rysunek tej sytuacji wraz z siłami działającymi na satelitę jest pokazany poniżej (Rys. 3).

Rys. 3. Siły działające na satelitę, krążącego wokół "Słońca". Ruch odbywa się wokół środka masy, którego położenie pokrywa się w przybliżeniu ze środkiem Słońca. W tym przypadku odległość między masami wynosi \( R \), a nie \( 2R \), jak dla gwiazdy podwójnej.