Title: Podstawy kinematyki
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Kinematyka

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

1. Punkt materialny porusza się wzdłuż osi OX układu współrzędnych zgodnie z równaniem:

$$ x(t) = \mathrm{A}t^2+\mathrm{B}t+\mathrm{C} $$

gdzie, \( \mathrm{A}, \mathrm{B} \) oraz \( \mathrm{C} \) są stałymi

Proszę obliczyć

a) prędkość i przyśpieszenie po drugiej sekundzie ruchu,

b) średnią prędkość i przyśpieszenie w drugiej sekundzie ruchu.

Analiza wstępna zadania

W zadaniu mamy podane równanie, które określa położenie punktu materialnego w dowolnej chwili czasu. Takie równanie nazywa się równaniem ruchu. W zadaniu mamy do czynienia z ruchem w jednym kierunku (wzdłuż osi Ox), ponieważ pozostałe składowe wektora położenia nie są podane. W większości zadań będziecie Państwo rozpatrywać ruch na płaszczyźnie. Należy wtedy używać zapisu wektorowego. Jednak każdy wektor możemy rozłożyć na składowe i rozwiązania dla innych składowych wylicza się w sposób analogiczny.

Równanie ruchu ma postać:

$$ x(t) = \mathrm{A}t^2+\mathrm{B}t+\mathrm{C} $$

Proszę zwrócić uwagę, że jednostki po obu stronach równania muszą być takie same. Również jednostki wszystkich składników sumy muszą być takie same (nie można dodawać do siebie wielkości fizycznych o różnych jednostkach!). W związku z tym możemy zobaczyć w jakich jednostkach wyrażone są stałe \( \mathrm{A} \), \( \mathrm{B} \) oraz \( \mathrm{C} \). Na jednostkach wykonuje się takie same operacje matematyczne, jak na symbolach. Zwykle używa się nawiasów kwadratowych do zaznaczenia, że robimy rachunek jednostek.

$$ [m] = [\mathrm{A}]\cdot [s^2] =[\mathrm{B}]\cdot [s] =[\mathrm{C}] $$

Z tych równości wynika, że:

$$ [\mathrm{C}]  =[m] $$

$$ [\mathrm{B}] =[\frac{m}{s}] $$

$$ [\mathrm{A}] = [\frac{m}{s^2}]$$

Pytanie kontrolne 1

a) We wszystkich zadaniach, jeżeli nie będzie dodatkowego określenia, słowem prędkość określa się prędkość chwilową, a przyspieszenie to przyspieszenie chwilowe. Należy obliczyć prędkość chwilową oraz przyspieszenie chwilowe w konkretnej chwili czasu. Najpierw zapisujemy wzór definiujący prędkość chwilową:

$$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} $$

W naszym przypadku ruch jest ruchem jednowymiarowym, więc możemy pominąć znak wektora i zapisać:

$$ v = \frac{dx}{dt} $$

Równanie ruchu (czyli zależność położenia od czasu) dana jest w zadaniu równaniem:

$$ x(t) = \mathrm{A}t^2+\mathrm{B}t+\mathrm{C} $$

Pochodna po czasie w dowolnej chwili czasu jest równa:

- 2At+B
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Teraz trzeba podstawić \( t = 2 \), żeby otrzymać wartość prędkości chwilowej dla chwili czasu 2s po rozpoczęciu ruchu.
- 2A*t+B
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Teraz trzeba podstawić \( t = 2 \), żeby otrzymać wartość prędkości chwilowej dla chwili czasu 2s po rozpoczęciu ruchu.
- At+B
Feedback: Niestety nie.
- At+B+C
Feedback: Niestety nie.
- @#wronganswer#@
Feedback: Proszę spróbować jeszcze raz. Może wystarczy inne zapisanie wyniku.

Odpowiedź częściowa

a) Otrzymaliśmy odpowiedź:

$$ v(t) = \mathrm{2A}t+\mathrm{B} $$

Podstawiając \( t=2s \) do tego równania otrzymujemy prędkość w tej chwili czasu. Wynosi ona:

$$ v(2s) = \mathrm{4A}+\mathrm{B} $$.

Pytanie kontrolne 2 - przyspieszenie

a) Zapisujemy wzór definiujący przyspieszenie chwilowe:

$$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} $$

W naszym przypadku ruch jest ruchem jednowymiarowym, więc możemy pominąć znak wektora i zapisać:

$$ a = \frac{dv}{dt} $$

Wyliczona przez nas prędkość chwilowa zależy od czasu i dana jest równaniem:

$$ v(t) = \mathrm{2A}t+\mathrm{B} $$

Pochodna prędkości po czasie w dowolnej chwili czasu jest równa:

- 2A
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Otrzymana wartość nie zależy od czasu, czyli również w chwili czasu t = 2s przyspieszenie będzie miało taką wartość.
- 2*A
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Otrzymana wartość nie zależy od czasu, czyli również w chwili czasu t = 2s przyspieszenie będzie miało taką wartość.
- @#wronganswer#@
Feedback: Proszę sprawdzić, czy pochodna prawidłowo policzona, ewentualnie zastanowić się nad sposobem zapisu wyniku.

Prędkość średnia

b) W drugim podpunkcie zadania otrzymujemy pytanie o prędkość średnią oraz o przyspieszenie średnie. W szkole średniej zwykle obliczaliście Państwo właśnie prędkość średnią i przyspieszenie średnie. Prędkość średnią dla ruchu w jednym wymiarze, definiuje się jako drogę przebytą w pewnym czasie:

$$ v_{śr} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$$

Równanie ruchu dane jest równaniem:

$$ x(t) = \mathrm{A}t^2+\mathrm{B}t+\mathrm{C} $$

Druga sekunda ruchu zaczyna się w chwili czasu w której kończy się pierwsza sekunda, czyli powyższe równanie można zapisać jako:

$$ v_{śr} = \frac{(\mathrm{A}\cdot 2^2+\mathrm{B}\cdot 2+\mathrm{C})-(\mathrm{A}\cdot 1^2+\mathrm{B}\cdot 1+\mathrm{C})}{2-1} = 3A +B $$

Proszę zwrócić uwagę, że otrzymany wynik jest inny niż prędkość chwilowa.

przyspieszenie średnie

Analogicznie do prędkości średniej definiujemy przyspieszenie średnie (dla ruchu jednowymiarowego):

$$ a_{śr} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2-t_1} $$

Obliczony przez nas wzór na prędkość chwilową miał postać:

$$ v(t) = \mathrm{2A}t+\mathrm{B} $$

Ile wynosi przyspieszenie średnie w drugiej sekundzie ruchu?

- 2A
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Proszę zwrócić uwagę, że otrzymana przez nas wartość jest różna od zera (dla \(A \neq 0 \) ) i taka sama jak wartość przyspieszenia chwilowego. Taki wynik otrzymuje się tylko w przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonego.
- @#wronganswer#@
Feedback: Niestety nie. Proszę sprawdzić obliczenia.