Title: Równia pochyła
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Dynamika punktu materialnego

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Ile razy dłużej ciało o masie \( m \) będzie się zsuwać po równi pochyłej o długości \( l \), gdy współczynnik tarcia wynosi \( f \) niż w przypadku, gdy możemy zaniedbać tarcie. Kąt nachylenia równi wynosi \( \alpha \).

Uwagi wstępne i interpretacja zadania

Wystarczy rozwiązać zadanie dla przypadku ruchu, w którym występuje tarcie. Wynik dla ruchu bez tarcia będzie oznaczał, że w wyniku przyjmiemy współczynnik tarcia \( f \) jako równy zero. Współczynnik tarcia oznacza się również symbolem \( \mu \).

W zadaniu zakładamy, że ciało się już porusza, czyli siła tarcia jest siłą tarcia dynamicznego, która ma stałą wartość (siła tarcia statycznego rośnie, aż do uzyskania wartości maksymalnej, w której ciało rusza z miejsca, \( T_{max} = f_{st} \cdot N \) ). Siła tarcia dynamicznego dana jest podobnym wzorem: \( F_{t} = f \cdot N \). Siła tarcia działa w taki sposób, aby przeciwstawić się ruchowi.

Jak przy każdym zadaniu z dynamiki musimy najpierw narysować wszystkie siły, które działają na punkt materialny (rys.).

Są to siły: ciężkości \( \vec{F}_g \) , tarcia \( \vec{F}_t \) oraz siła normalna \( \vec{N} \) (reakcji podłoża na nacisk, który w tym przypadku jest składową siły ciężkości)

Pytanie kontrolne 1

Wygodnie jest wprowadzić układ współrzędnych i rozłożyć wszystkie występujące w zadaniu siły oraz przyspieszenie na składowe.

Ile wynoszą składowe siły \( F_g \)?

Uwaga: kąt (o ile potrzebny) należy określić słowami

- [mgsin(alfa), -mgcos(alfa)]
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- [mgsin(alfa),-mgcos(alfa)]
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- [mgsin(alfa),mgcos(alfa)]
Feedback: Niestety nie, proszę zwrócić uwagę na zwrot osi Oy oraz wektora \( \vec{F}_g \)
- [-mgcos(alfa),mgsin(alfa)]
Feedback: Niestety nie, proszę zwrócić uwagę, która z osi jest osią Ox lub na definicje funkcji trygonometrycznych.
- @#wronganswer#@
Feedback: Niestety nie. Proszę sprawdzić, czy przyczyną negatywnej oceny nie jest format zapisu (np. brak nawiasu w funkcji trygonometrycznej).

Równanie ruchu

Równanie ruchu wynika z II zasady dynamiki Newtona. Mamy do czynienia z jedną masą, więc wektorowo zapisujemy tylko jedno równanie uwzględniające wszystkie siły działające na rozpatrywane ciało:

$$ m\vec{a} = \vec{F}_g + \vec{F}_t + \vec{N}  $$

Proszę zwrócić uwagę, że w równaniu tym nie skracamy składowych, które się skracają, czyli np. NIEPRAWIDŁOWE jest zapisanie równania:

$$ m\vec{a} = \vec{F}_{gx} + \vec{F}_t  $$

Nie zapisuje się również osobno składowych wektora ciężaru, czyli NIEPRAWIDŁOWO zapisane równanie ma postać:

$$ m\vec{a} = \vec{F}_{gx} +\vec{F}_{gy} + \vec{F}_t + \vec{N}  $$

Jeszcze większym błędem jest zapisanie równania ruchu bez znaków wektorów:

$$ ma = F_g + F_t + N  $$

lub dodanie wektora \( \vec{F}_g \) do jego składowych:

$$ m\vec{a} = \vec{F}_g + \vec{F}_t + \vec{F}_{gx} + \vec{N} + \vec{F}_{gy} $$

Po tych nieprawidłowych równaniach ruchu jeszcze raz powtarzam równanie PRAWIDŁOWE:

$$ m\vec{a} = \vec{F}_g + \vec{F}_t + \vec{N}  $$

Składowe równania ruchu

Wszystkie wektory występujące w równaniu ruchu należy zapisać przy pomocy składowych, a następnie zapisujemy równanie ruchu osobno dla składowych równoległych do kierunku ruchu i osobno prostopadle do kierunku ruchu (oczywiście dobór takiego układu współrzędnych nie jest jedyny, ale zwykle najwygodniejszy).

$$ y = \left\{ \begin{array}{ll}
ma\: =\: mg\sin(\alpha ) - F_t  \\
m\cdot 0\: =\:N - mg\cos(\alpha )
\end{array} \right.
$$

Wartość siły tarcia kinetycznego wyliczamy korzystając z zależności:

$$ F_t = f \cdot N $$

Proszę zwrócić uwagę, że powyższego równania nie można zapisać wektorowo: proporcjonalne do siebie są wartości tych wektorów, natomiast siły te nie działają w tym samym kierunku.

Z drugiego równania układu równań wyliczamy \( N \), a następnie \( F_t \) i podstawiamy do pierwszego z równań układu.

Proszę wyliczyć przyspieszenie i dopiero po jego obliczeniu przejść do następnej strony, aby sprawdzić wynik.

Przyspieszenie

Przyspieszenie, gdy ruch odbywa się z tarciem jest dane równaniem:

$$ a_t = a = g\sin(\alpha )-fg\cos(\alpha ) $$

Jeżeli ruch odbywa się bez tarcia pozostaje tylko pierwszy człon powyższego wyrażenia, czyli:

$$ a_0 =g\sin(\alpha ) $$

Droga dla ruchu jednostajnie przyspieszonego dana jest równaniem

$$ l = \frac{at^2}{2} $$

Jest ona identyczna w obu przypadkach, czyli

$$ l = \frac{a_t t^2_t}{2}=\frac{a_0 t^2_0}{2} $$

Proszę wyliczyć stosunek czasów zsuwania się z równi z tarciem i bez tarcia, \( \frac{t_t}{t_0} \) , i następnie przejść do następnej strony, aby sprawdzić wynik.

Rozwiązanie zadania

Stosunek czasów zsuwania się ciała z równi pochyłej przy występowaniu tarcia i przy jego braku dany jest równaniem:

$$ \frac{t_t}{t_0} =\sqrt{\frac{a_0}{a_t}} = \sqrt{\frac{\sin(\alpha ) }{ \sin(\alpha )\:-\:f\cos(\alpha ) }} $$

Wyrażenie to można zapisać w prostszej postaci, dzieląc licznik i mianownik przez \( \sin(\alpha ) \). Otrzymujemy wtedy:

$$ \frac{t_t}{t_0} =\sqrt{\frac{1}{1\:-\:f\mathrm{ctg}(\alpha )}} $$