Title: Sprężynki połączone szeregowo
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Ruch harmoniczny

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Dwie sprężyny złączono i doczepiono do nich ciało o masie m (rys.). Ciało porusza się po powierzchni bez tarcia. Ile wynosi wartość częstości drgań tego układu?

Uwagi wstępne

Zaczynamy od narysowania sił działających na masę oraz na punkt połączenia sprężyn (kolejne etapy wykonania rysunku wyjaśniam na kolejnych stronach lekcji. Gotowym rysunkiem jest Rys. 4). Rysujemy tylko siły, które nas w tym przypadku interesują, czyli siły sprężystości, siłę ciężkości oraz reakcji podłoża pomijamy. Siły sprężystości działają w taki sposób, żeby sprężynę wrócić do jej długości równowagowej tzn. jeżeli sprężyna jest rozciągnięta, to siła sprężystości działa na oba końce sprężyny w taki sposób, aby zmniejszyć jej długość. Jeżeli natomiast sprężyna jest ściśnięta, to siły sprężystości starają się rozprężyć sprężynę.

Wartość siły sprężystości jest proporcjonalna do zmiany długości sprężyny (stałą proporcjonalności jest stała sprężystości).

$$ \vec{F} = -k\vec{r} $$

Rysunek

Rysunek najlepiej wykonać kolejnymi etapami, które przedstawiam poniżej. Po przerysowaniu oryginalnego rysunku oraz przerysowania bezpośrednio pod nim elementów, które się nie poruszają (np. ściany, podłoże) zaznaczamy przerywaną linią położenie środka masy ciężarka oraz punktu łączenia sprężyn (Rys. 1):

Rys. 1. Rysunek sytuacji wyjściowej zadania (położenie równowagi) na górnym rysunku. Bezpośrednio pod nim zaznaczone są elementy niezmienne oraz położenie równowagi istotnych dla zadania punktów.

Po zaznaczeniu położeń równowagi ważnych punktów, zaznaczamy przemieszczenie każdego z nich w danej chwili czasu. Najwygodniej ustalić przemieszczenie punktu, który znajduje się najbliżej lewej strony jako najmniejsze i wszystkie kolejne przemieszczenia rysować coraz większe (różnica powinna być łatwo zauważalna). Pozwala to w łatwy sposób stwierdzić o ile zmieniła się długość danej sprężyny w stosunku do jej długości równowagowej zaznaczonej na górnym rysunku. Przemieszczenia rysuje się wektorowo, zaznaczając ich zwrot.

Rys. 2. Drugi etap rysunku: zaznaczone są nowe położenia istotnych punktów w jakiejś chwili czasu oraz ich przemieszczenia. Każdemu z wektorów przemieszczenia została nadana symboliczna nazwa (u nas  \( \vec{x_1} \) oraz \( \vec{x_2} \) ). Pełnią one rolę współrzędnych położenia odpowiednio punktu łączenia sprężyn oraz masy. Zwrot wektora określa dodatni kierunek dla danej współrzędnej.

Proszę zwrócić uwagę, że na razie nie narysowaliśmy sprężyn, lecz tylko nowe położenie masy oraz punktu łączenia sprężyn. Kolejne rysunki na następnej stronie lekcji.

Pytanie kontrolne 1

Po zaznaczeniu przemieszczeń istotnych dla zadania punktów, można narysować sprężyny.

Rys. 3 Rysunek uzupełniony o sprężyny.

Sprężyna znajdująca się bliżej ściany (o stałej sprężystości \( k_1 \) zmieniła swoją długość o \( x_1 \). O ile zmieniła się długość drugiej sprężyny?

Uwaga: proszę nie wpisywać spacji, indeksy proszę wpisywać nie zmniejszając czcionki, czyli np. \( a_3 \) proszę wpisać jako a3

- x2-x1
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- @#wronganswer#@
Feedback: Niestety nie. Proszę sprawdzić, czy format zapisu jest prawidłowy, ewentualnie przysłać zrzut ekranu.

Rysunek c.d.

Sprężyna znajdująca się bliżej ściany (o stałej sprężystości \( k_1 \) zmieniła swoją długość o \( x_1 \), natomiast druga sprężyna również zwiększyła swoją długość, ale o wartość \( x_2 - x_1 \) (zwiększenie długości ponieważ \( x_2 > x_1 \)). W przypadku nie zastosowania się do mojej rady dotyczącej rosnących wartości przemieszczeń, trzeba określić, czy sprężyna została wydłużona, czy ściśnięta. Dużym błędem jest rysunek dla którego wartości przemieszczeń \( x_2 \) oraz \( x_1 \) są podobne, ponieważ przy niestarannym rysunku trudno jest ustalić, czy sprężyna zwiększa czy zmniejsza swoją długość. W przypadku jednakowej wartości tych przemieszczeń, sprężyna nie zmienia swojej długości, wiec nie wywiera żadnej siły na klocek ani na drugą sprężynę.

W przypadku rozciągnięcia sprężyny siły działające na każdą ze sprężyn będą działały w taki sposób, żeby zmniejszyć ich długość (Rys. 4). Siły sprężystości zawsze działają na oba końce sprężyny.

Rys. 4 Siły działające na masę oraz na punkt łączenia sprężyn. Zwykle nie rysuje się siły działającej na koniec sprężyny przyczepiony do ściany (ani równoważącej jej siły reakcji ściany), tutaj zaznaczona, żeby zdawać sobie sprawę z jej istnienia. Na rysunku nie zaznaczono również siły ciężkości działającej na masę \( m \) oraz siły reakcji podłoża.

Równania ruchu

Korzystamy z II zasady dynamiki Newtona i zapisujemy równania ruchu dla masy \( m \) oraz dla punktu łączenia sprężyn:

 $$ \  \left\{ \begin{array}{ll}
m \cdot \ddot{x}_2 = -k_2(x_2-x_1) \qquad \qquad (1) \\
0 \cdot \ddot{x}_1 = -k_1 x_1 + k_2(x_2-x_1) \qquad (2)
\end{array} \right. $$

Uwaga: kropka nad zmienną oznacza pochodną po czasie, dwie kropki drugą pochodną po czasie, czyli \( \ddot{x}_2 \) jest przyspieszeniem masy \( m \), natomiast \( \ddot{x}_1 \) jest przyspieszeniem punktu łączenia sprężyn. Gdyby w miejscu łączenia sprężyn była zamieszczona masa, to należałoby ją uwzględnić w miejscu zera w powyższym równaniu.

Znaki sił określamy względem dodatniego kierunku współrzędnej, która opisuje ruch danego punktu. W naszym przypadku ruch masy jest opisany przez współrzędną \( x_2 \), a ruch punktu łączącego sprężyny przez współrzędną \( x_1 \). Jedyną siłą działającą na masę \( m \) jest siła \( \vec{F_2} \). Zwrot tej siły jest przeciwny do zwrotu współrzędnej \( x_2 \), więc stąd w równaniu znak minus. Na punkt łączenia sprężyn działają siły: \( \vec{F'_2} \) (zwrot taki sam, jak zwrot wektora \( x_1 \) opisującego ruch punktu łączenia sprężyn; stąd znak plus w równaniu) oraz \( \vec{F_1} \) (zwrot przeciwny do  \( x_1 \) ; stąd znak minus w równaniu).

W powyższym układzie równań pominęliśmy równanie dla kierunku prostopadłego do kierunku ruchu ( \( 0 = N-mg \) ), ponieważ nie wpływa ono na ruch drgający układu.

Równanie oscylatora harmonicznego można zapisać w postaci:

$$ \oslash \ddot{\oplus} = -\ominus \oplus \qquad (3)$$

gdzie \( \oslash \) oraz \( \ominus \) są stałymi dodatnimi, natomiast \( \oplus \) jest dowolną zmienną.

Równanie \( (1) \) nie jest więc jeszcze równaniem oscylatora harmonicznego, ale chcemy je sprowadzić do takiej postaci. W tym celu wyliczamy \( x_1 \) z drugiego równania i wstawiamy do pierwszego równania.

Proszę wyliczyć \( x_1 \) i po obliczeniu sprawdzić wynik na następnej stronie.

Równanie oscylatora harmonicznego

Otrzymujemy wynik:

$$ x_1 = x_2 \cdot \frac{k_2}{k_1+k_2} \qquad (4)$$

Podstawiając do równania pierwszego otrzymujemy:

$$ m\ddot{x}_2 = -\: k_2 x_2-\: k_2 x_2 \cdot \frac{k_2}{k_1+k_2} \qquad (5)$$

Prawą stronę równania należy sprowadzić do wspólnego mianownika, aby miało postać równania oscylatora harmonicznego:

$$ m\ddot{x}_2 = -\: \frac{k_1k_2}{k_1+k_2}  \cdot x_2  \qquad (6)$$

Proszę zwrócić uwagę, że jest to równanie oscylatora harmonicznego (równanie 3):

$$ \oslash \ddot{\oplus} = -\ominus \oplus $$

jeżeli przyjmiemy, że: \( \oslash \equiv m \), \( \ominus \equiv \frac{k_1k_2}{k_1+k_2} \) oraz \( \oplus \equiv x_2 \).

Pytanie kontrolne 2

Rozwiązania równania:

$$ m\ddot{x}_2 = -\: \frac{k_1k_2}{k_1+k_2}  \cdot x_2  \qquad (7)$$

poszukujemy w postaci funkcji:

$$ x_2 = Ae^{i\omega t} \qquad (8)$$

Wyliczamy kolejno pierwszą i drugą pochodną:

$$ \dot{x}_2 = Ai\omega e^{i\omega t} \qquad (9)$$

$$ \ddot{x}_2 = -A\omega ^2 e^{i\omega t} \qquad (10)$$

Otrzymane zależności \( x_2 \) oraz \( \ddot{x}_2 \) podstawiamy do równania \( (7) \). Alternatywnym sposobem jest założenie, że rozwiązanie ma postać funkcji:

$$ x_2 = A \cos ( \omega t+ \varphi) \qquad (11)$$

Proszę policzyć pierwszą i drugą pochodną dla tego wyrażenia. Proszę zapisać odpowiedź ile wynosi druga pochodna po czasie z \( x_2 \).

Uwaga: proszę napisać samą odpowiedź. Jako znak mnożenia proszę używać *, znak dzielenia /, znak potęgowania ^, \( \omega \) proszę pisać pełnym słowem, czyli omega, podobnie \( \varphi \) to fi; argument funkcji trygonometrycznej proszę pisać w nawiasie np. wyrażenie: \( -\: AB \ \mathrm{tg} ( \omega t^2 - \frac{1}{2} \varphi) \) należy zapisać jako: -A*B*tg(omega*t^2-fi/2)

Nie należy robić przerw (spacji) pomiędzy poszczególnymi wyrażeniami.

- -A*omega^2*cos(omega*t+fi)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Proszę podstawić wyrażenia na \( x_2 \) oraz \( \ddot{x}_2 \) do równania \( (7) \) i na następnej stronie sprawdzić wynik.
- -omega^2*A*cos(omega*t+fi)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź, chociaż zwykle najpierw zapisuje się amplitudę. Proszę podstawić wyrażenia na \( x_2 \) oraz \( \ddot{x}_2 \) do równania \( (7) \) i na następnej stronie sprawdzić wynik.
- -A*cos(omega*t+fi)*omega^2
Feedback: Prawidłowa odpowiedź, chociaż zwykle funkcję trygonometryczną zapisuje się na końcu. Proszę podstawić wyrażenia na \( x_2 \) oraz \( \ddot{x}_2 \) do równania \( (7) \) i na następnej stronie sprawdzić wynik.
- -A*omega*omega*cos(omega*t+fi)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Proszę podstawić wyrażenia na \( x_2 \) oraz \( \ddot{x}_2 \) do równania \( (7) \) i na następnej stronie sprawdzić wynik.
- @#wronganswer#@
Feedback: Niestety nie. Proszę sprawdzić, czy wynik obliczenia został zapisany w prawidłowym formacie. W razie problemów proszę o maila ze zrzutem ekranu.

Rozwiązanie c.d.

Po podstawieniu funkcji \( x_2 \) oraz \( \ddot{x}_2 \) otrzymujemy w przypadku pierwszej funkcji równanie:

$$ -\: mA\omega ^2 e^{i\omega t} = -\: \frac{k_1k_2}{k_1+k_2}  \cdot A e^{i\omega t} \qquad (12) $$

natomiast dla drugiej z nich:

$$ -\: mA\omega ^2 \cos( \omega t + \varphi) = -\: \frac{k_1k_2}{k_1+k_2}  \cdot A \cos( \omega t + \varphi) \qquad (13) $$

Po skróceniu oba równania mają tę samą postać (i dlatego nie miało znaczenia, której z funkcji użyliśmy do obliczeń):

$$  m\omega ^2  = \: \frac{k_1k_2}{k_1+k_2}  \qquad (14) $$

Wyliczamy stąd szukaną częstość drgań:

$$  \omega  = \: \sqrt{\frac{k_1k_2}{m \cdot (k_1+k_2)}} \qquad (15)  $$

Uwagi końcowe

Jeżeli w zadaniu trzeba obliczyć okres drgań, to korzystamy z zależności:

$$ T = \frac{2\pi}{\omega} \qquad (16) $$

Podstawiając do tego wzoru wyliczoną \( \omega \), otrzymujemy:

$$ T = \: 2\pi \sqrt{\frac{m \cdot (k_1+k_2)}{k_1k_2}} \qquad (17) $$

Rozwiązaniem równania ruchu jest wybrana przez nas funkcja, z wyliczoną wartością \( \omega \). Jeżeli korzystaliśmy z funkcji:

$$ x_2 = A \cos ( \omega t+ \varphi) \qquad (18) $$

to zauważamy, że zawiera ona dwie stałe, \( A \) - amplitudę początkową oraz \( \varphi \) - przesunięcie fazowe, które pełnią rolę stałych całkowania dla rozwiązywanego przez nas równania różniczkowego drugiego stopnia. Jeżeli znamy tzw. warunki początkowe, czyli położenie oraz prędkość w początkowej chwili czasu, czyli \( t \) = 0, to możemy wyliczyć te stałe.

W przypadku skorzystania do rozwiązania zadania z funkcji zespolonej:

$$ x_2 = Ae^{i\omega t} \qquad (19) $$

rozwiązaniem, które ma znaczenie fizyczne jest część rzeczywista tej funkcji, czyli

$$ x_2 = A \cos ( \omega t) \qquad (20) $$

Proszę zwrócić uwagę, że brakuje nam jednej stałej całkowania. Zwykle jako drugą stałą całkowania wybiera się fazę, czyli \( \varphi \), rozwiązanie sprowadza się więc do zapisanego w równaniu \( (18) \).