Title: Podstawy kinematyki (H5P)
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Kinematyka

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

1. Punkt materialny porusza się wzdłuż osi OX układu współrzędnych zgodnie z równaniem:

$$ x(t) = \mathrm{A}t^2+\mathrm{B}t+\mathrm{C} $$

gdzie, \( \mathrm{A}, \mathrm{B} \) oraz \( \mathrm{C} \) są stałymi

Proszę obliczyć

a) prędkość i przyśpieszenie po drugiej sekundzie ruchu,

b) średnią prędkość i przyśpieszenie w drugiej sekundzie ruchu.

Analiza wstępna zadania

W zadaniu mamy podane równanie, które określa położenie punktu materialnego w dowolnej chwili czasu. Takie równanie nazywa się równaniem ruchu. W zadaniu mamy do czynienia z ruchem w jednym kierunku (wzdłuż osi Ox), ponieważ pozostałe składowe wektora położenia nie są podane. W większości zadań będziecie Państwo rozpatrywać ruch na płaszczyźnie. Należy wtedy używać zapisu wektorowego. Jednak każdy wektor możemy rozłożyć na składowe i rozwiązania dla innych składowych wylicza się w sposób analogiczny.

Równanie ruchu ma postać:

$$ x(t) = \mathrm{A}t^2+\mathrm{B}t+\mathrm{C} $$

Proszę zwrócić uwagę, że jednostki po obu stronach równania muszą być takie same. Również jednostki wszystkich składników sumy muszą być takie same (nie można dodawać do siebie wielkości fizycznych o różnych jednostkach!). W związku z tym możemy zobaczyć w jakich jednostkach wyrażone są stałe \( \mathrm{A} \), \( \mathrm{B} \) oraz \( \mathrm{C} \). Na jednostkach wykonuje się takie same operacje matematyczne, jak na symbolach. Zwykle używa się nawiasów kwadratowych do zaznaczenia, że robimy rachunek jednostek.

$$ [m] = [\mathrm{A}]\cdot [s^2] =[\mathrm{B}]\cdot [s] =[\mathrm{C}] $$

Z tych równości wynika, że:

$$ [\mathrm{C}]  =[m] $$

$$ [\mathrm{B}] =[\frac{m}{s}] $$

$$ [\mathrm{A}] = [\frac{m}{s^2}]$$

Pytanie kontrolne 1

multiple-choice-632.h5p

Odpowiedź częściowa

a) Otrzymaliśmy odpowiedź:

$$ v(t) = \mathrm{2A}t+\mathrm{B} $$

Podstawiając \( t=2s \) do tego równania otrzymujemy prędkość w tej chwili czasu. Wynosi ona:

$$ v(2s) = \mathrm{4A}+\mathrm{B} $$.

Pytanie kontrolne 2

multiple-choice-633.h5p

Prędkość średnia

b) W drugim podpunkcie zadania otrzymujemy pytanie o prędkość średnią oraz o przyspieszenie średnie. W szkole średniej zwykle obliczaliście Państwo właśnie prędkość średnią i przyspieszenie średnie. Prędkość średnią dla ruchu w jednym wymiarze, definiuje się jako drogę przebytą w pewnym czasie:

$$ v_{śr} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$$

Równanie ruchu dane jest równaniem:

$$ x(t) = \mathrm{A}t^2+\mathrm{B}t+\mathrm{C} $$

Druga sekunda ruchu zaczyna się w chwili czasu w której kończy się pierwsza sekunda, czyli powyższe równanie można zapisać jako:

$$ v_{śr} = \frac{(\mathrm{A}\cdot 2^2+\mathrm{B}\cdot 2+\mathrm{C})-(\mathrm{A}\cdot 1^2+\mathrm{B}\cdot 1+\mathrm{C})}{2-1} = 3A +B $$

Proszę zwrócić uwagę, że otrzymany wynik jest inny niż prędkość chwilowa.

Przyspieszenie średnie

multiple-choice-634.h5p