Title: Rzut ukośny (H5P)
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Kinematyka

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Proszę znaleźć kąt, pod jakim należy rzucić ciało, aby zasięg i maksymalna wysokość były równe. Wzory proszę wyprowadzić.

Uwagi wstępne i interpretacja zadania

Zadanie dotyczy kinematyki punktu materialnego. Nie interesują nas przyczyny ruchu (czyli siły), chociaż od nich zależy charakter ruchu, który chcemy opisać. W przypadku rzutu ukośnego jedyną działającą siłą jest siła ciężkości (przy założeniu, że możemy zaniedbać opory ruchu), więc składowa pionowa ruchu będzie miała charakter ruchu jednostajnie przyspieszonego, natomiast składowa pozioma ma charakter ruchu jednostajnego.

Uczymy się rozpatrywać ruch w układzie współrzędnych. Na rysunku przedstawiamy sytuację w wybranym przez nas układzie współrzędnych. Ważne jest, aby zaznaczyć wektor prędkości początkowej oraz położenie początkowe rozpatrywanego przez nas punktu materialnego (rys. 1).

Rozwiązanie zadania polega na "ubraniu w równania" tego co wiemy o ruchu punktu materialnego i rozwiązaniu tych równań.

Nasz punkt materialny ma zerową składową przyspieszenia w kierunku osi Ox (ponieważ w tym kierunku jego ruch jest ruchem jednostajnym) oraz stałą wartość przyspieszenia (równą przyspieszeniu ziemskiemu \( \vec{\mathrm{g}} \) w kierunku osi Oy:

$$ \vec{a} = [0,\:-\mathrm{g}] $$

Alternatywnym sposobem zapisania powyższego równania jest:

$$ \left\{ \begin{array}{ccc}   a_{x}=0 \\ a_{y}=-\mathrm{g} \end{array} \right. $$

Proszę zwrócić uwagę, że znak minus jest związany z naszym wyborem osi układu współrzędnych: wektor  \( \vec{\mathrm{g}} \) ma zwrot przeciwny do dodatniego kierunku wybranego przez nas zwrotu osi Oy.

Wyliczenie prędkości

Znamy przyspieszenie. Korzystając z jego definicji i przekształcając ją, możemy wyliczyć prędkość, z jaką porusza się nasz punkt materialny.

$$ \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} $$

Mnożymy obie strony równania przez \( \mathrm{d}t \).

$$ \mathrm{d}\vec{v} = \vec{a} \mathrm{d}t $$

Obie strony równania są różniczkami, które trzeba scałkować.

$$ \int \mathrm{d}\vec{v} = \int \vec{a} \mathrm{d}t $$

Lewą stronę równania możemy wyliczyć, natomiast prawą oblicza się dopiero po podstawieniu znanej zależności funkcyjnej \( \vec{a}(t) \).

$$ \vec{v} = \int \vec{a} \mathrm{d}t $$

Wygodnie jest przy podstawianiu \( \vec{a}(t) \) zapisać powyższe równanie w postaci układu równań:

$$ \left\{ \begin{array}{} v_x = \int 0 \mathrm{d}t \\ v_y = -\int \mathrm{gd}t \end{array} \right. $$

Proszę zwrócić uwagę, że -1 jako stałą można było zapisać przed całką. Wyliczamy teraz obie całki (są to całki nieoznaczone, więc nie można zapomnieć o stałych całkowania):

$$ \left\{ \begin{array}{} v_x = C_1 \\ v_y = -\mathrm{g}t+C_2 \end{array} \right. \qquad(*)$$

Musimy jeszcze wyznaczyć stałe całkowania. W tym celu korzystamy z tzw. "warunku początkowego", czyli znajomości wartości funkcji w chwili czasu \( t \) = 0. W naszym przypadku chodzi o znajomość składowych prędkości początkowej.

Korzystając z rysunku oraz z definicji funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:

$$ \left\{ \begin{array}{} v_{0x} = v_0 \cos(\alpha ) \\ v_{0y} = v_0 \sin(\alpha ) \end{array} \right. $$

Podstawiając te wartości oraz \( t \) =0 do równania \( (*) \) otrzymujemy:

$$ \left\{ \begin{array}{} v_0 \cos(\alpha ) = C_1 \Rightarrow C_1 = v_0 \cos(\alpha ) \\ v_0 \sin(\alpha ) = -\mathrm{g} \cdot 0+ C_2 \Rightarrow C_2 = v_0 \sin(\alpha ) \end{array} \right. $$

Po podstawieniu tak wyliczonych stałych całkowania otrzymujemy wynik:

$$ \left\{ \begin{array}{} v_x = v_0 \cos(\alpha ) \\ v_y = -\mathrm{g}t+v_0 \sin(\alpha ) \end{array} \right. $$

Wyliczenie równań ruchu

Bardzo często zadania dotyczące rzutu ukośnego rozpoczyna się od zapisania równań na prędkość, podobnych do tych, które wyliczyliśmy na poprzedniej stronie. Równania te mogą się różnić wartościami składowych prędkości początkowej, ewentualnie, przy wyborze układu współrzędnych o innym zwrocie osi - znakami. W naszym wypadku prędkość punktu materialnego w dowolnej chwili czasu jest opisana równaniami:

$$ \left\{ \begin{array}{} v_x = v_0 \cos(\alpha ) \\ v_y = -\mathrm{g}t+v_0 \sin(\alpha ) \end{array} \right. \qquad(**)$$

Naszym celem jest teraz wyznaczenie równań ruchu, czyli zależności położenia punktu materialnego od czasu. W tym celu korzystamy z definicji prędkości i przekształcamy ją podobnie, jak to robiliśmy z definicją przyspieszenia.

$$ \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} $$

Mnożymy obie strony równania przez \( \mathrm{d}t \).

$$ \mathrm{d}\vec{r} = \vec{v} \mathrm{d}t $$

Wyliczamy całki obu stron tego równania.

$$ \int \mathrm{d}\vec{r} = \int \vec{v} \mathrm{d}t $$

Wyliczamy tylko lewą stronę równania, natomiast prawą dopiero, gdy znamy zależność funkcyjną \( \vec{v}(t) \).

$$ \vec{r} = \int \vec{v} \mathrm{d}t $$

Podobnie jak przy podstawianiu \( \vec{a}(t) \) powyższe równanie zapisujemy w postaci układu równań:

$$ \left\{ \begin{array}{} x = \int v_x \mathrm{d}t \\ y = \int v_y \mathrm{d}t \end{array} \right. $$

Proszę zwrócić uwagę, że składowe wektora położenia \( \vec{r} \) zwyczajowo nazywa się nie \( r_x \) i \( r_y \), lecz \( x \) i \( y \). Podstawiamy teraz do układu równań wyliczone wcześniej zależności \( \vec{v}(t) \) \( (**) \):

$$ \left\{ \begin{array}{} x = \int v_0 \cos(\alpha ) \mathrm{d}t \\ y = \int (-\mathrm{g}t+v_0 \sin(\alpha )) \mathrm{d}t \end{array} \right. $$

Proszę zwrócić uwagę, że wyrażenie zawierające dwa składniki zapisane jest w nawiasie. Całka z sumy jest równa sumie całek, więc możemy wyliczyć obie całki (znowu nie można zapomnieć o stałych całkowania, bo wyliczamy całki nieoznaczone):

$$ \left\{ \begin{array}{} x = v_0 t\cos(\alpha )+C_x \\ y = -\frac{\mathrm{g}t^2}{2}+v_0 t \sin(\alpha )+C_y \end{array} \right. \qquad(***)$$

Należy jeszcze wyznaczyć stałe całkowania. Warunek początkowy musi teraz dotyczyć znajomości składowych wektora położenia w chwili początkowej. Odczytujemy je z rysunku: dla \(t \) = 0, \(x \) = 0 oraz \( y \) = 0

Podstawiając te wartości oraz \( t \) =0 do równania \( (***) \) otrzymujemy:

$$ \left\{ \begin{array}{}  0= v_0 \cdot 0\cdot \cos(\alpha )+C_x \Rightarrow C_x=0 \\  0= -\frac{\mathrm{g} \cdot 0^2}{2}+v_0 \cdot 0 \cdot \sin(\alpha )+C_y \Rightarrow C_y=0 \end{array} \right. $$

Po podstawieniu wyliczonych stałych całkowania, równania ruchu przybierają postać:

$$ \left\{ \begin{array}{} x = v_0 t \cos(\alpha ) \\ y = -\frac{\mathrm{g}t^2}{2}+v_0 t \sin(\alpha ) \end{array} \right. $$

Znalezienie równania toru

Po znalezieniu równań ruchu najwygodniej jest znaleźć równanie toru. Równanie toru to równanie krzywej po której porusza się punkt materialny. Znalezienie równania toru polega na wyeliminowaniu czasu z równań ruchu. Równania ruchu mają postać:

$$ \left\{ \begin{array}{} x = v_0 t \cos(\alpha ) \\ y = -\frac{\mathrm{g}t^2}{2}+v_0 t \sin(\alpha ) \end{array} \right. $$

Wyliczamy czas z pierwszego równania:

$$ t = \frac{x}{v_0 \cos(\alpha )} $$

i podstawiamy do równania drugiego.

Pytanie kontrolne 1

multiple-choice-619.h5p

Uwagi ogólne dotyczące uzyskanych równań

Rozpatrując ruch punktu materialnego chcemy uzyskać informację o jego przyspieszeniu, prędkości oraz położeniu w dowolnej chwili czasu. Zależność położenia od czasu jest równaniem ruchu punktu materialnego w kinematyce. Dodatkową informację uzyskujemy znajdując równanie toru. Proszę zwrócić uwagę, że równanie ruchu jest parametrycznym równaniem toru, gdzie parametrem jest czas. Żeby nie było pomyłek jako równanie toru będziemy uważać tylko jego postać nieparametryczną.

Rozwiązanie zadania warto doprowadzić do znalezienia równania toru, ponieważ zwykle łatwo jest określić współrzędne punktu, który nasz obiekt musi osiągnąć lub ominąć.

Wyznaczenie maksymalnego zasięgu

Zasięg wyznaczamy wiedząc, jaki punkt musi osiągnąć nasz punkt materialny. Współrzędne tego punktu najwygodniej odczytać z rysunku (układ współrzędnych musi być identyczny z tym, dla którego wyprowadziliśmy wzory).

W naszym przypadku punkt materialny spada na ziemię, czyli na ten sam poziom z jakiego został wyrzucony. Jest on opisany współrzędną y = 0. Współrzędną x-ową tego punktu można określić jako \( x_z \) lub pozostawić jako niewiadomą x. W tym drugim przypadku trzeba pamiętać, że x przestaje być zmienną, a staje się konkretną wartością tej zmiennej odpowiadającą naszej założonej wartości y.

Równanie toru miało postać:

$$ y = -\frac{\mathrm{g}x^2}{2v^2_0 \cos^2 (\alpha)} + x\mathrm{tg}( \alpha) $$

Podstawiając \( y \) =0 oraz \( x = x_z \) otrzymujemy równanie:

$$ 0 = -\frac{\mathrm{g}x^2_z}{2v^2_0 \cos^2 (\alpha)} + x_z\mathrm{tg}( \alpha) $$

Szukamy wartości \( x_z \). W przypadku ogólnym zauważamy, że otrzymane równanie jest równaniem kwadratowym i możemy od razu zapisać rozwiązania równania kwadratowego. W naszym szczególnym przypadku możemy wyłączyć \( x_z \) przed nawias i otrzymujemy równanie:

$$ 0 =x_z( -\frac{\mathrm{g}x_z}{2v^2_0 \cos^2 (\alpha)} + \mathrm{tg}( \alpha)) $$

Jednym z rozwiązań tego równania jest \( x_z \) = 0, a drugie otrzymujemy rozwiązując proste równanie:

$$ 0 = -\frac{\mathrm{g}x_z}{2v^2_0 \cos^2 (\alpha)} + \mathrm{tg}( \alpha) $$

Pytanie kontrolne 2

multiple-choice-620.h5p

Wyznaczenie maksymalnej wysokości

Matematycznie wyznaczenie maksymalnej wysokości oznacza znalezienie maksimum funkcji y(x) lub y(t). Aby znaleźć ekstremum funkcji należy policzyć pochodną i przyrównać ją do zera. Pochodnej \( \frac{dy}{dt} \) nie musimy już liczyć, ponieważ jest to definicja \( v_y \), którą już wcześniej wyliczyliśmy. W związku z tym wygodnie jest wyliczyć czas, w którym jest osiągane maksimum funkcji y(t), oznaczamy go jako \( t_{max} \).

$$ \frac{dy}{dt} = v_y = v_0\sin(\alpha) - gt_{max} = 0 $$

$$ t_{max} = \frac{v_0\sin(\alpha)}{g} $$

Maksymalna wysokość na jaką wzniesie się ciało jest równa

$$ h_{max} = y(t_{max}) = v_0 \cdot \frac{v_0\sin(\alpha)}{g} \cdot \sin(\alpha) - g \cdot \frac{\left( \frac{v_0\sin(\alpha)}{g} \right) ^2}{2} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} $$

Pytanie kontrolne 3 - wyznaczenie szukanego kąta

multiple-choice-621.h5p