Title: Rzut młotem
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Kinematyka

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Rzut młotem. Zawodnik zatacza okrąg o promieniu \( R \) = 1.5 m na wysokości \( h \) = 2 m nad ziemią. W pewnym momencie puszcza młot, który upada po przebyciu w poziomie odległości \( d \) = 20 m. Zakładając, że wartość prędkości młota w ruchu po okręgu była stała, proszę obliczyć wartość przyspieszenia dośrodkowego młota, gdy poruszał się on po okręgu.

Uwagi wstępne

Rys. 1. Rzut młotem: Paweł Fajdek ( zdjęcie ze strony: https://sport.onet.pl/lekkoatletyka/mistrzostwa-swiata-w-lekkoatletyce-2019/reprezentacja-polski/pawel-fajdek-przed-finalem-ms-w-rzucie-mlotem-wywiad/gey0jp7)

Treść zadania jest tylko przybliżeniem rzeczywistego rzutu młotem. Zawodnik w rzeczywistości zakreśla okrąg nie nad głową, jak w zadaniu, ale w płaszczyźnie pochylonej pod pewnym kątem do poziomu. Prędkość w rzeczywistym ruchu po okręgu nie jest stała. Młot jest jednak wypuszczany z ręki przez zawodnika i porusza się dalej ruchem, który jest rzutem ukośnym z prędkością początkową styczną do okręgu.

W naszej uproszczonej sytuacji musimy rozważyć dwa zjawiska:

1. ruch po okręgu ze stałą prędkością,

2. rzut poziomy z prędkością początkową równą prędkości w ruchu po okręgu styczną do niego w punkcie puszczenia młota.

Ruch po okręgu

(a)                                                                                    (b)

Rys. 2. Punkt materialny porusza się po okręgu z prędkością o stałej wartości. (a) Położenie punktu można podać we współrzędnych kartezjańskich \( x, y \) lub biegunowych\( r, \varphi \). (b) Predkość w ruchu po okręgu jest styczna do okręgu i prostopadła do promienia.

Ruch po okręgu z prędkością o stałej wartości jest ruchem przyspieszonym, ponieważ zmienia się zwrot wektora prędkości. Przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie:

$$ \vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} $$

W przypadku ruchu po okręgu, wektor prędkości \( \vec{v} \) wygodnie jest przedstawić we współrzędnych biegunowych jako \( v\cdot \hat{\varphi} \), otrzymujemy wtedy wzór na przyspieszenie:

$$ \vec{a} = \frac{\mathrm{d} (v\cdot \hat{\varphi})}{\mathrm{d}t} $$

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu otrzymujemy:

$$ \vec{a} = v \cdot \frac{\mathrm{d} \hat{\varphi}}{\mathrm{d}t} + \hat{\varphi} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t} $$

W przypadku ruchu po okręgu ze stałą wartością prędkości drugi wyraz znika, ponieważ pochodna ze stałej wynosi zero. Przyspieszenie jest różne od zera, ponieważ niezerowa jest zmiana kąta w czasie i wynosi ona \(  \frac{\mathrm{d} \hat{\varphi}}{\mathrm{d}t} = -\hat{r} \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = -\hat{r} \omega \). Pochodna \( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}=\omega \) jest prędkością kątową punktu materialnego. Można pokazać, że wiąże się ona z wartością prędkości stycznej do okręgu zależnością: \( \omega=\frac{v}{r} \)

Otrzymujemy więc przyspieszenie:

$$ \vec{a} =-\hat{r} v\cdot \frac{v}{r}= -\hat{r}  \frac{v^2}{r} $$

Otrzymane przyspieszenie ma kierunek promienia i zwrot do środka okręgu, czyli jest przyspieszeniem dośrodkowym. To właśnie przyspieszenie należy wyliczyć w zadaniu. Promień okręgu jest znany, wystarczy wyznaczyć wartość prędkości.

Rzut poziomy

Aby po puszczeniu młot poruszał się wzdłuż osi Ox, trzeba wybrać układ współrzędnych jak na rysunku:

                  (a) widok z boku                                   (b) widok z góry

Rys. 3: Relacja między układem współrzędnych, a okręgiem po którym początkowo poruszał się młot: (a) widok z boku, (b) widok z góry. Na rysunku zaznaczony jest również wektor prędkości w momencie puszczenia młota. Wektor ten jest wektorem prędkości początkowej dla kolejnego etapu ruchu młota, czyli dla rzutu poziomego.

Dla rzutu poziomego można napisać równania zależności prędkości od czasu^1, przy zaniedbaniu oporów ruchu:

$$ \left\{ \begin{array}{} v_x = v_0  \\ v_y = -\mathrm{g}t \end{array} \right. \qquad(**)$$

Aby znaleźć równania ruchu korzystamy z definicji prędkości

$$ \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} $$

i przekształcamy do równania całkowego:

$$ \vec{r} = \int \vec{v} \mathrm{d}t $$

Wektory rozkładamy na składowe i równanie zapisujemy w postaci układu równań:

$$ \left\{ \begin{array}{} x = \int v_x \mathrm{d}t \\ y = \int v_y \mathrm{d}t \end{array} \right. $$

----------------------------------------------------------------------------------

^1 W niniejszej lekcji zakładam, że wyprowadzenia wzorów dla rzutu poziomego (czyli szczególnego przypadku rzutu ukośnego) są tylko powtórzeniem materiału. W razie problemów, proszę zajrzeć do lekcji dotyczącej rzutu ukośnego.

Wyznaczenie równań ruchu

Do układu równań, podstawiamy zależność \( \vec{v}(t) \) \( (**) \):

$$ \left\{ \begin{array}{} x = \int v_0 \mathrm{d}t \\ y = -\int \mathrm{g}t \mathrm{d}t \end{array} \right. $$

Proszę wyliczyć otrzymane całki oraz stałe całkowania i zapisać w odpowiedzi równania ruchu.

Format zapisu: najpierw proszę wpisać wynik \( x(t) \), następnie przecinek, spacja i wynik\( y(t) \). Jeżeli otrzymają Państwo np. \( x(t) = -A\frac{Bt^4}{Ct-D} \) oraz \( y(t) = \frac{L}{A}+K_1 \), należy zapisać jako: \( -(A*B*t^4)/(C*t-D), L/A+K\_1 \)

- v_0*t, -(g*t^2)/2+h
Feedback: Prawidłowa odpowiedź, równania ruchu mają postać: $$ \left\{ \begin{array}{} x = v_0 t \\ y = -\frac{\mathrm{g}t^2}{2}+h \end{array} \right. $$
- v_0*t, -(g*t*t)/2+h
Feedback: Prawidłowa odpowiedź, równania ruchu mają postać: $$ \left\{ \begin{array}{} x = v_0 t \\ y = -\frac{\mathrm{g}t^2}{2} +h \end{array} \right. $$
- v_0*t, -g*t*t/2+h
Feedback: Prawidłowa odpowiedź, równania ruchu mają postać: $$ \left\{ \begin{array}{} x = v_0 t \\ y = -\frac{\mathrm{g}t^2}{2} +h \end{array} \right. $$
- v_0*t, -g*t^2/2+h
Feedback: Prawidłowa odpowiedź, równania ruchu mają postać: $$ \left\{ \begin{array}{} x = v_0 t \\ y = -\frac{\mathrm{g}t^2}{2}+h \end{array} \right. $$
- @#wronganswer#@
Feedback: Proszę sprawdzić format zapisu.

pytanie kontrolne 2

Po wyznaczeniu równań ruchu, wyznaczamy równanie toru. Które z równań jest prawidłowym równaniem toru?

- $$ y = -\frac{\mathrm{g}x^2}{2v^2_0 } + h $$
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Otrzymane równanie jest równaniem paraboli.
- $$ y = -\frac{\mathrm{g}x^2}{2v^2_0 \cos^2 (\alpha)} + x\mathrm{tg}( \alpha)+h $$
Feedback: Niestety nie. Równanie powyższe zakłada, że mamy do czynienia z rzutem ukośnym, a nie poziomym. W przypadku rzutu poziomego trzeba podstawić do powyższego równania: \( \alpha = 0^o \)
- $$ y = -\frac{2\mathrm{g}x^2}{v_0 } + h $$
Feedback: Niestety nie. W równaniu pojawiają się błędy rachunkowe.
- $$ y = -\frac{\mathrm{g}x^2}{2v_0 } + h $$
Feedback: Niestety nie. Proszę sprawdzić jednostki i znaleźć błąd rachunkowy.

Wyznaczenie prędkości początkowej

Rys. 4. Tor ruchu młota rozpatrywanego w zadaniu.

Młot upadnie na ziemię w punkcie o współrzędnych \( (d, \:0 ) \). Podstawiamy współrzędne tego punktu do równania toru i otrzymujemy:

$$ 0 = -g\frac{d^2}{2v^2_0}+h $$

Stąd:

$$ g\frac{d^2}{2v^2_0}=h $$

Możemy wyliczyć prędkość początkową jako:

$$ v_0= d \cdot \sqrt{\frac{g}{2h}} $$.

Otrzymaną wartość prędkości początkowej wystarczy teraz podstawić do wzoru na przyspieszenie dośrodkowe.

Pytanie kontrolne 3

Ile wynosiła wartość przyspieszenia dośrodkowego młota w trakcie jego ruchu po okręgu?

- $$ \frac{gd^2}{2hR} $$
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Po otrzymaniu wzoru możemy podstawić wartości, które zostały podane w treści zadania.
- $$ \frac{1}{R} \sqrt{\frac{gd^2}{2h}} $$
Feedback: Niestety nie. Prędkość należało podnieść do kwadratu.
- $$ \frac{gd^2R}{2h} $$
Feedback: Niestety nie. Proszę zwrócić uwagę, że dzielimy ułamek przez \( R \), a nie liczbę (lub ułamek) przez ułamek, którego mianownikiem jest \( R \).
- $$ \frac{\frac{gd^2}{2h}}{R} $$
Feedback: Wynik nie powinien być zostawiony w postaci ułamka piętrowego. Prawidłowo zapisany wynik końcowy to: $$ \frac{gd^2}{2hR} $$

Obliczenie wartości przyspieszenia dośrodkowego

Wartość przyspieszenia dośrodkowego wynosi:

$$ a_r = \frac{gd^2}{2hR} $$

Do uzyskanego wzoru podstawiamy wartości dane w zadaniu wraz z jednostkami^2, co pozwala uniknąć wielu błędów:

$$ a_r = \frac{9,8\frac{m}{s^2}\cdot (20\:m)^2}{2\cdot 2\:m \cdot 1,5 m} = 6,5\cdot 10^2\: \frac{m}{s^2} $$

----------------------------------------------------------------------------------------

^2 Na jednostkach wykonuje się również operacje matematyczne. Trzeba pamiętać, że wszystkie składniki sumy lub różnicy muszą mieć tę samą jednostkę.