Title: Walec na lince
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Dynamika bryły sztywnej

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Jednorodny walec został owinięty cienką, nieważką i nierozciągliwą linką (Rys. 1). Walec jest ciągnięty za linkę z siłą \( F \) = 1 N, jego masa wynosi \( m \) = 1 kg, a promień \( R \) = 0,1 m.

a) ile wynosi przyspieszenie środka masy tego walca?

b) Ile wynosi przyspieszenie kątowe walca względem jego środka masy?

c) Jaki jest kierunek, zwrot i wartość siły tarcia?

Zakładamy, że walec toczy się bez poślizgu. Współczynnik tarcia wynosi \( \mu \).

Rys. 1. Walec owinięty nitką, ciągnięty za tę nić z siłą \( \vec{F} \).

Uwagi wstępne

Nie możemy uważać tego walca za punkt materialny. Wiąże się to z koniecznością rozważenia nie tylko sił, ale również ich momentów. Ruch ciała jest złożeniem ruchu postępowego oraz ruchu obrotowego względem osi obrotu, która przechodzi przez środek masy walca i jest w tym przypadku osią walca. Na rysunku są przedstawione siły działające na walec. Proszę zwrócić uwagę, że nie możemy ich przyłożyć w środku masy walca, lecz musimy zwrócić uwagę, gdzie znajduje się punkt przyłożenia danej siły.

Rys. 2. Siły działające na walec.

Wprowadzamy układ współrzędnych. W zadaniach dotyczących ruchu obrotowego najwygodniej jest przyjąć, że oś obrotu jest osią Oz układu współrzędnych.

Rys. 3. Siły działające na walec oraz układ współrzędnych, z którego będziemy korzystać przy rozwiązywaniu zadania.

Ważne jest, żeby układ współrzędnych był prawoskrętny, ponieważ wszystkie definicje są wprowadzone dla takich układów współrzędnych. W przypadku zastosowania lewoskrętnego układu współrzędnych otrzymamy nieprawidłowy znak szukanych wielkości fizycznych takich, jak moment siły czy moment pędu.

                               (a)                                             (b)

Rys. 4. Przykłady prawo- (a) i lewoskrętnych układów współrzędnych (b).

Składowe sił

Siły działające na walec rozkładamy na składowe. Trzeba podać wszystkie trzy składowe siły, ponieważ będziemy musieli policzyć iloczyny wektorowe.

Wektor \( \vec{F}_g \) można zapisać przy pomocy składowych jako:

$$ \vec{F}_g = [0, \:-mg,\: 0] $$

W którym przypadku wszystkie wektory są prawidłowo zapisane?

- $$ \vec{N} = [0, \:N, \:0]; \: \vec{F}_t = [-F_t, \:0, \: 0]; \: \vec{F} = [F, \:0, \:0] $$
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- $$ \vec{N} = [0, \:N]; \: \vec{F}_t = [-F_t, \:0]; \: \vec{F} = [F, \:0] $$
Feedback: Niestety nie. Brakuję składowej w kierunku osi obrotu. Mimo, że dla każdego spośród tych wektorów wynosi ona zero, musimy ją zapisać.
- $$ \vec{N} = [0, \:N, \:0]; \: \vec{F}_t = [F_t, \:0, \: 0]; \: \vec{F} = [-F, \:0, \:0] $$
Feedback: Niestety nie. Proszę zwrócić uwagę na zwrot wektorów względem dodatniego kierunku osi współrzędnych. Jeżeli te zwroty są takie same, to dana składowa wektora ma znak plus, gdy są przeciwne, to znak minus.
- $$ N = [0, \:N, \:0]; \: F_t = [-F_t, \:0, \: 0]; \: F = [F, \:0, \:0] $$
Feedback: Niestety nie. Proszę zwrócić uwagę, że brak znaku wektora oznacza, iż mamy na myśli wartość tego wektora. A wtedy równania nie są zapisane prawidłowo, ponieważ nie może być po jednej stronie równania skalar, a po drugiej wektor.

Momenty sił

Rys. 5. Siły działające na walec oraz wektor wodzący dla siły \( \vec{F} \).

Znając siły możemy napisać równanie ruchu:

$$ m\vec{a} = \vec{F}_g+\vec{F}_t+\vec{N}+\vec{F} $$

Niestety to równanie nie jest wystarczające, aby opisać ruch walca. Musimy jeszcze zapisać drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego:

$$ I\cdot \varepsilon = M $$

gdzie \( I \) jest momentem bezwładności, \( \varepsilon \) przyspieszeniem kątowym, natomiast \( M \) całkowitym momentem siły działającym na dane ciało. Wszystkie te wielkości powinny być obliczone względem tej samej osi obrotu. W ogólnym przypadku moment bezwładności jest wielkością tensorową, natomiast moment siły oraz przyspieszenie kątowe są pseudowektorami.

Moment siły \( \vec{F} \) definiuje się jako:

$$ \vec{M}=\vec{r} \times \vec{F} $$

Definicja ta dotyczy tylko prawoskrętnych układów współrzędnych. Wektor \( \vec{r} \) jest tzw. wektorem wodzącym, czyli wektorem łączącym początek układu współrzędnych (powinien on się znajdować na osi obrotu) oraz punkt przyłożenia siły.

Wyliczenie momentu siły \( vec{F} \)

Obliczamy moment siły \( \vec{F} \). Najwygodniej iloczyn wektorowy wyliczać zapisując go w formie wyznacznika:

$$ \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
x & y & z \\
F_x & F_y & F_z
\end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & R & 0 \\
F & 0 & 0 \end{array} \right| $$

Moment siły \( \vec{F} \) jest więc równy:

- \( [0, 0, -FR] \)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- \( -FR\hat{k} \)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- \( -FR \)
Feedback: Niestety nie. Pytanie dotyczyło wektora, a nie tylko jednej jego składowej.
- \( FR \)
Feedback: Niestety nie. Pytanie dotyczyło wektora, a nie tylko jego wartości.

Wyliczenie momentu siły normalnej

Trzeba wyliczyć momenty wszystkich sił, które działają na dane ciało. Obliczymy teraz moment siły reakcji podłoża, czyli siły normalnej \( \vec{N} \). Siła ta jest przyłożona w miejscu styku ciała z podłożem, czyli jej promień wodzący ma składowe: \( \vec{r}_N = [ 0, -R, 0] \). Wyliczamy odpowiedni wyznacznik:

$$ \vec{M}_N = \vec{r}_N \times \vec{N} = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & -R & 0 \\
0 & N & 0 \end{array} \right| $$

Moment siły \( \vec{N} \) jest więc równy:

- \( [0, 0, 0] \)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Proszę zauważyć, że wektory \( \vec{N} \) oraz \( \vec{r}_N \) są równoległe do siebie, więc zerowy moment siły można było wydedukować również korzystając ze wzoru na wartość wektora, który jest wynikiem iloczynu wektorowego tych wektorów, czyli: $$ \left| \vec{r}_N \times \vec{N} \right| = r_N \cdot N\cdot \mathrm{sin}(180^o) = 0 $$
- \( \vec{0} \)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Proszę zauważyć, że wektory \( \vec{N} \) oraz \( \vec{r}_N \) są równoległe do siebie, więc zerowy moment siły można było wydedukować również korzystając ze wzoru na wartość wektora, który jest wynikiem iloczynu wektorowego tych wektorów, czyli: $$ \left| \vec{r}_N \times \vec{N} \right| = r_N \cdot N\cdot \mathrm{sin}(180^o) = 0 $$
- \( [0, RN, 0] \)
Feedback: Niestety nie. Proszę sprawdzić sposób liczenia wyznacznika.
- \( [0, -RN, 0] \)
Feedback: Niestety nie. Proszę sprawdzić sposób liczenia wyznacznika.

Wyliczenie momentów pozostałych sił

Do wyliczenia pozostał jeszcze moment siły tarcia oraz siły ciężkości. Postępując tak, jak poprzednio otrzymujemy moment siły tarcia:

$$ \vec{M}_t = \vec{r}_t \times \vec{F}_t = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & -R & 0 \\
-F_t & 0 & 0 \end{array} \right| = [0, 0, -RF_t] $$

W przypadku siły ciężkości otrzymujemy

$$ \vec{M}_g = \vec{r}_g \times \vec{F}_g = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 0 & 0 \\
0 & -F_g & 0 \end{array} \right| = [0, 0, 0] $$

Moment siły ciężkości wynosi zero, ponieważ jest ona przyłożona na osi obrotu, więc jej promień wodzący jest wektorem zerowym. Dowolna siła przyłożona na osi obrotu, \(\vec{F}_o \), nie daje wkładu do ruchu obrotowego, ponieważ jej moment ma wartość równą 0. Korzystając ze wzoru na wartość wektora, który jest wynikiem iloczynu wektorowego tych wektorów, czyli:

$$ \left| \vec{r}_o \times \vec{F}_o \right| = 0 \cdot F_o\cdot \mathrm{sin}(\alpha) = 0 $$

Równanie ruchu obrotowego

Równanie ruchu obrotowego w naszym przypadku ma postać:

$$ I\vec{\varepsilon} = \vec{M}_F + \vec{M}_N + \vec{M}_t +\vec{M}_g $$

Oba niezerowe momenty sił mają tylko składową z-ową, co oznacza, że będą one powodowały obrót wokół osi Oz układu współrzędnych. Kierunek obrotu walca jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, a umówiono się, że wielkości kątowe w takim przypadku są ujemne. W związku z tym wektor prędkości kątowej będzie miał tylko składową z-ową i będzie ona ujemna, czyli \( \vec{\varepsilon} = - \: \varepsilon \hat{k} \). Wystarczy więc napisać równanie ruchu dla z-owej składowej pomijając dwie pozostałe składowe, dla których równania są nieinteresujące (0 = 0).

$$ -I\varepsilon = -RF-RF_t $$

Ruch bryły sztywnej bez poślizgu

Nie skorzystaliśmy jeszcze z informacji, że ruch jest ruchem bez poślizgu. Ciało porusza się bez poślizgu, jeżeli punkt jego styku z podłożem ma prędkość o wartości zero. Warunek ten jest spełniony, gdy prędkość obrotowa oraz prędkość liniowa środka masy tego ciała spełniają równanie:

$$ v = \omega R $$

Konsekwencją tego równania jest podobna zależność dla przyspieszenia kątowego i liniowego:

$$ a =  \varepsilon R $$

Ten warunek zawsze można (a nawet należy) uwzględnić rozwiązując zadania dotyczące ruchu bez poślizgu.

Ruch jest ruchem bez poślizgu, jeżeli siła tarcia spełnia warunek:

$$ F_t \leq \mu N $$

gdzie \( \mu \) jest współczynnikiem tarcia. Prawdziwość tego warunku trzeba sprawdzać, po wyznaczeniu siły tarcia.

Ruch bryły sztywnej bez poślizgu - rozwiązanie równań

Równania opisujące ruch postępowy oraz obrotowy wraz z warunkiem na ruch bez poślizgu dla naszego walca tworzą układ równań:

$$ \left\{ \begin{array}{ll}
m \cdot a =F-F_{t}\\ m \cdot 0 = N- mg\\ -I\varepsilon = -RF-RF_t\\
a =  \varepsilon R
\end{array} \right.
$$

W przypadku ruchu obrotowego wyliczamy wartość maksymalną siły tarcia:
$$ F_{tmax} = \mu N\:= \mu mg $$,
nie podstawiamy jej jednak do układu równań.

Rozwiązujemy układ równań traktując jako niewiadome \( a \) oraz \( F_t \) i następnie sprawdzamy, czy jest spełniony warunek, aby ruch był ruchem bez poślizgu.

Pytanie kontrolne 3

Z układu równań pozostawiamy równanie pierwsze, natomiast do równania trzeciego po pomnożeniu go przez -1, podstawiamy \( \varepsilon = \frac{a}{R} \) otrzymując:

$$ \left\{ \begin{array}{ll}
m \cdot a =F-F_{t}\\ I\frac{a}{R} = RF+RF_t
\end{array} \right.
$$

Najszybszy sposób rozwiązania tego układu równań jest następujący: równanie drugie dzielimy przez \( R \), a następnie oba równania dodajemy stronami. W wyniku otrzymujemy wtedy:

$$ a = \frac{2F}{m+\frac{I}{R^2}} $$

Dopiero teraz warto podstawić wzór na moment bezwładności dla walca, czyli:

$$ I = \frac{mR^2}{2} $$

Podstawienie tego wzoru na wcześniejszym etapie obliczeń często prowadzi do pomyłek.

Przyspieszenie liniowe walca wynosi:

$$ a = \frac{2F}{m+\frac{\frac{mR^2}{2}}{R^2}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{F}{m} $$

Jaki warunek musi być spełniony, aby ruch był bez poślizgu?

- \( F_t \leq \mu N \)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Proszę podstawić wyliczone wartości do tej nierówności i sprawdzić odpowiedź na następnej stronie.
- \( F_t = \mu N \)
Feedback: Niestety nie, ten warunek nie jest wystarczający.
- \( F_t \geq \mu N \)
Feedback: Niestety nie.
- \( F_t \leq \mu mg \)
Feedback: Ta odpowiedź nie dotyczy wszystkich przypadków. Siła normalna (reakcja podłoża na nacisk) niekoniecznie musi być równa \( mg \). W zadaniu przykładowym tak jest, natomiast rozwiązując dowolne zadanie trzeba sprawdzić ile ona wynosi, żeby wyliczyć maksymalną siłę tarcia ze wzoru \( F_{tmax} = \mu N \).

Siła tarcia

Siła tarcia wyliczona z układu równań wynosi:

$$ F_t = - \frac{F}{3} $$

Otrzymaliśmy wynik ujemny, co oznacza, że nieprawidłowo założyliśmy zwrot siły tarcia. Prawidłowo wykonany rysunek powinien wyglądać następująco:

Rys. 6. Siły, które działają na obracający się walec, ciągnięty za linkę. Korekcie poddano zwrot oraz długość wektora siły tarcia.

Dla ruchu obrotowego nie zawsze mamy intuicję dotyczącą zwrotu siły tarcia. Proszę jednak zwrócić uwagę, że mimo iż nieprawidłowo założyliśmy zwrot siły tarcia, zadanie zostało rozwiązane. Trzeba się tylko zastanowić jaki sens ma otrzymany przez nas wynik: czy znak minus dla wielkości, która powinna być dodatnia oznacza naszą pomyłkę, czy nieprawidłowo zinterpretowaliśmy zwrot któregoś wektora. W niektórych zadaniach zauważenie, że zwrot siły tarcia jest przeciwny do wstępnie założonego wymaga powtórzenia obliczeń. W obecnym zadaniu nie ma takiej potrzeby, ponieważ otrzymane wyniki przyspieszenia liniowego i kątowego są prawidłowe.

Wartość otrzymanej przez nas siły tarcia to:

$$ F_t = -\frac{F}{3} $$

Wartość tej siły musi spełnić warunek:

$$ F_t \leq \mu mg $$,

co prowadzi do ograniczenia wartości siły z którą ciągniemy walec do spełniających nierówność:

$$ F \leq 3\mu mg $$,

żeby ruch był ruchem bez poślizgu. Proszę zwrócić uwagę, że do tej nierówności podstawiamy wartość siły tarcia, a nie jej składową, więc nawet, gdyby założony przez nas kierunek siły tarcia był prawidłowy, w równaniu pojawiłaby się wielkość dodatnia. Błędem byłoby podstawienie ujemnej składowej wektora i w konsekwencji zmiana znaku nierówności na przeciwny.

Przyspieszenie kątowe wyliczamy znając wartość przyspieszenia \( a \):

\( \varepsilon = \frac{a}{R} = \frac{4}{3} \cdot \frac{F}{mR} \).

Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy:

$$ a = \frac{4}{3} \cdot \frac{1\: \mathrm{N}}{1\: \mathrm{kg}} = \frac{4}{3} \frac{kg\frac{m}{\mathrm{s}^2}}{kg} = \frac{4}{3} \frac{m}{\mathrm{s}^2} $$

$$ \varepsilon = \frac{4}{3} \cdot \frac{1\: \mathrm{N}}{1\: \mathrm{kg} \cdot 0,1 \:\mathrm{m}} = \frac{40}{3} \frac{1}{\mathrm{s}^2}$$

$$ F_t = \frac{1\: \mathrm{N}}{3} = \frac{1}{3} \mathrm{N} $$

Siła tarcia ma zwrot w dodatnim kierunku osi Ox.

Chwilowa oś obrotu

Zagadnienie ruchu obrotowego bryły można rozwiązywać rozpatrując ten ruch jako złożenie ruchu postępowego oraz obrotowego wokół osi obrotu przechodzącej przez środek masy, jak zrobiliśmy w dotychczasowym rozwiązaniu; można również rozwiązać go rozpatrując ruch obrotowy wokół chwilowej osi obrotu. Chwilowa oś obrotu przechodzi przez punkt styczności bryły z podłożem (Rys. 7).

Rys. 7. Walec z zaznaczoną chwilową osią obrotu.

Równanie ruchu zapisane skalarnie, w tym przypadku ma postać:

$$ I_s \varepsilon = M_s $$

gdzie \( I_s \) jest momentem bezwładności bryły względem chwilowej osi obrotu. Wylicza się go korzystając z twierdzenia Steinera. W naszym przypadku odległość między osią obrotu przechodzącą przez środek masy, a chwilową osią obrotu wynosi \( R \), dostajemy więc wynik:

$$ I_s = I_0 + mR^2 = \frac{mR^2}{2} + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2 $$

Zwrot wektora przyspieszenia kątowego ustalamy zwracając uwagę, że obrót bryły jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, więc zgodnie z konwencją przyspieszenie kątowe będzie ujemne.

Momenty sił musimy policzyć ponownie, ponieważ zmienił się układ współrzędnych (oś obrotu, która jest osią Oz jest inna niż poprzednio).

Momenty sił względem chwilowej osi obrotu

Rys. 8. Siły działające na walec oraz układ współrzędnych dla chwilowej osi obrotu.

Obliczamy momenty sił w nowym układzie współrzędnych:

$$ \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 2R & 0 \\
F & 0 & 0 \end{array} \right| = [0, 0, -2FR] $$

Moment siły ciężkości:

$$ \vec{M}_g = \vec{r}_g \times \vec{F}_g = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & R & 0 \\
0 & -mg & 0 \end{array} \right| = [0, 0, 0] $$

Moment siły ciężkości znowu jest równy zeru, ale tym razem przyczyna tego wyniku jest inna. Siła NIE JEST przyłożona na osi obrotu, lecz jest równoległa do promienia wodzącego. Dla siły normalnej:

$$ \vec{M}_N = \vec{r}_N \times \vec{N} = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 0 & 0 \\
0 & N & 0 \end{array} \right| = [0, 0, 0] $$

oraz siły tarcia:

$$ \vec{M}_t = \vec{r}_t \times \vec{F}_t = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 0 & 0 \\
-F_t & 0 & 0 \end{array} \right| = [0, 0, 0] $$

momenty są równe zeru, ponieważ obie te siły są przyłożone na chwilowej osi obrotu (miejsce zetknięcia walca z podłożem). Jedynym nieznikającym momentem siły jest moment siły, z jaką działamy na walec poprzez linkę. Równanie ruchu dla składowej z-owej ma więc teraz postać:

$$ -I\varepsilon = -2FR $$

Otrzymujemy przyspieszenie kątowe:

$$ \varepsilon = \frac{2FR}{I} $$

Po podstawieniu momentu bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu, \( I =\frac{3}{2} mR^2 \) otrzymujemy:

$$ \varepsilon = \frac{2FR}{\frac{3}{2} mR^2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{F}{mR} $$

czyli taki sam wynik jak poprzednio.

Metoda ta pozwala szybko uzyskać wynik przyspieszenia kątowego (oraz po przeliczeniu przyspieszenia liniowego), natomiast nie powala na otrzymanie informacji o sile tarcia. Aby dowiedzieć się jaką wartość (i zwrot) ma siła tarcia trzeba napisać równanie ruchu postępowego i podstawić do niego wynik przyspieszenia.