Title: Człowiek na tarczy obrotowej - momentu pędu
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Zasady zachowania

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

W środku wirującej z prędkością kątową \( \omega _0 \) tarczy o masie \( M \) i promieniu \( R \) siedzi człowiek o masie \( m \). Jak zmieni się prędkość kątowa tarczy, gdy człowiek

a) Przejdzie na brzeg tarczy i będzie tam stał?

b) Przejdzie na brzeg tarczy i będzie szedł w kierunku obrotów z prędkością o wartości \( v \)?

c) Przejdzie na brzeg tarczy i będzie szedł w kierunku przeciwnym niż ruch obrotowy tarczy z prędkością o wartości \( v \)?

Wstępna analiza zadania

Zadanie dotyczy zmiany momentu pędu pomiędzy dwiema sytuacjami: w sytuacji początkowej człowiek stoi w środku obracającej się tarczy, a w końcowej człowiek znajduje się na brzegu tarczy, zachowując się różnie w zależności od podpunktu. Na układ człowiek + tarcza nie działa żaden niezrównoważony zewnętrzny moment sił, czyli można go uznać za układ izolowany.

Stosujemy zasadę zachowania momentu pędu, która mówi, że dla układu izolowanego całkowity moment pędu, \( \vec{L}_c \), nie zmienia się.

$$ \vec{L}_c = \mathrm{const} $$

Całkowity moment pędu oblicza się sumując wektorowo momenty pędu wszystkich ciał tego układu. Moment pędu punktu materialnego wylicza się względem konkretnego punktu (najwygodniej, aby był to początek układu współrzędnych, którego osią Oz jest oś obrotu, układ współrzędnych musi być prawoskrętny), korzystając ze wzoru:

$$ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} $$

gdzie \( \vec{r} \) jest promieniem wodzącym (Rys. 1), czyli promieniem łączącym początek układu współrzędnych z punktem przyłożenia wektora pędu \( \vec{p} \).

Rys. 1. Promień wodzący \( \vec{r} \) oraz wektor pędu \( \vec{p} \). Moment pędu jest prostopadły do obu tych wektorów.

Dla bryły o momencie bezwładności \( I \) poruszającej się z prędkością kątową \( \omega \) wygodniejszy jest inny wzór:

$$ \vec{L} = I\vec{\omega} $$

Człowiek powinien być w tym zadaniu traktowany jako punkt materialny (czyli rozmiar tarczy powinien być odpowiednio duży).

Początkowy moment pędu

Człowiek, jako punkt materialny ma moment bezwładności dany wzorem:

$$ I_{cz} = mr^2 $$

gdzie \( r \) jest odległością punktu materialnego o masie \(m \) od osi obrotu.

Tarczę możemy traktować, jako walec o momencie bezwładności:

$$ I_w =\frac{1}{2} MR^2 $$

gdzie \( M \) jest masą walca, a \( R \) jego promieniem.

Zarówno człowiek, jak i tarcza poruszają się z tą samą prędkością kątową \( \omega _0 \).

Ile wynosi wartość początkowego momentu pędu układu?

- \( L = I_w \omega _0 \)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Nie warto podstawiać wartości momentu bezwładności walca na tym etapie obliczeń. Wtedy rozwiązanie zadania ma większą uniwersalność, a dodatkową zaletą jest mniejsza możliwość pomyłki w obliczeniach.
- \( L = \frac{1}{2} MR^2 \omega _0 \)
Feedback: Prawidłowa odpowiedź. Nie warto jednak podstawiać wartości momentu bezwładności walca już na tym etapie obliczeń. Wtedy rozwiązanie zadania ma większą uniwersalność, a dodatkową zaletą jest mniejsza możliwość pomyłki w obliczeniach. Wzór lepiej jest więc na razie pozostawić w postaci: \( L = I_w \omega _0 \)
- \( L = \frac{1}{2} (M+m) R^2 \omega _0 \)
Feedback: Niestety nie. Proszę zwrócić uwagę, że człowiek jest punktem materialnym, a nie walcem o promieniu \( R \). Oczywiście wymaga to założenia, że promień tarczy jest duży w porównaniu z promieniem przekroju poprzecznego człowieka.
- \( L = (\frac{1}{2} MR^2 +mR^2) \omega _0 \)
Feedback: Niestety nie. Proszę zwrócić uwagę, że człowiek znajduje się na początku w środku tarczy, czyli na osi obrotu. W takim razie jego odległość od osi obrotu wynosi zero i również jego moment bezwładności względem tej osi obrotu wynosi zero.

Moment pędu człowieka na brzegu tarczy

Zadanie można rozwiązać albo rozpatrując każdą z sytuacji końcowych osobno, albo rozwiązując podpunkt b) (najbardziej uniwersalny) i następnie przeprowadzając dyskusję wyniku. W ten sposób zostanie przedstawione przykładowe rozwiązanie zadania.

W sytuacji końcowej tarcza ma prędkość kątową \( \omega \), która jest szukaną niewiadomą. Jej moment pędu^1 wynosi więc \( I_w \omega \).

Człowiek na brzegu tarczy ma moment bezwładności \(  I_{cz} = mR^2 \). Jego prędkość kątowa jest sumą prędkości kątowej tarczy \( \omega \) oraz dodatkowego przyczynku związanego z tym, że porusza się on zgodnie z kierunkiem obrotu tarczy z prędkością o wartości \( v \). Korzystając z zależności między prędkością liniową i kątową, można go wyliczyć jako \( \frac{v}{R} \). Moment pędu^1 człowieka wynikający z faktu, że znajduje się on w obracającym się układzie odniesienia oraz porusza się po okręgu o promieniu \( R \) z prędkością styczną o wartości \( v \) wynosi więc:

$$ L_{cz} = I_{cz} (\omega +\frac{v}{R}) $$

Ten wynik momentu bezwładności można uzyskać jeszcze w inny sposób - przedstawię go na końcu lekcji.

__________________________________________________________________________________________

^1 Ściśle, chodzi tu o nieznikającą składową momentu pędu. Jeżeli oś obrotu utożsamiliśmy z osią Oz, będzie to z-owa składowa.

Rozwiązanie części b) zadania

Końcowy moment pędu układu człowiek + tarcza jest równy:

$$ L_{c_{końc}} = I_w\omega+I_{cz}(\omega + \frac{v}{R} ) $$

Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu otrzymując równanie:

$$ I_w\omega _0 = I_w\omega+I_{cz}(\omega + \frac{v}{R} ) $$

Na tym etapie obliczeń można podstawić wyrażenia na moment bezwładności lub wyprowadzić do końca wyliczenie i dopiero wtedy podstawiać.

$$ I_w\omega _0 - I_{cz}\frac{v}{R} = (I_w+I_{cz})\omega $$

Proszę wykonać obliczenie i sprawdzić wynik na następnej stronie lekcji.

Rozwiązanie części b) c.d.

Otrzymujemy wartość końcowej prędkości kątowej:

$$ \omega = \frac{I_w\omega _0 - I_{cz}\frac{v}{R}}{I_w+I_{cz}} $$

Po podstawieniu momentów bezwładności tarczy i człowieka, rozwiązanie ma postać

$$ \omega = \frac{\frac{MR^2}{2}\omega _0 - mR^2\frac{v}{R}}{\frac{MR^2}{2}+mR^2} $$

Po uproszczeniu otrzymujemy wynik końcowy jako:

$$ \omega = \frac{\frac{M}{2} \omega _0 - m\frac{v}{R}}{\frac{M}{2}+m} = \frac{M\omega_0R - 2mv}{R(M+2m)} $$

Dyskusja wyniku

Prędkość kątowa po przejściu człowieka na brzeg tarczy jest dana wzorem:

$$ \omega =  \frac{M\omega_0 R - 2mv}{R(M+2m)} $$

Mianownik otrzymanego wyrażenia jest zawsze dodatni. Jeżeli licznik jest dodatni, to zwrot końcowej prędkości kątowej będzie taki sam jak zwrot początkowej prędkości kątowej. W przypadku, gdy \( M\omega_0 R - 2mv <0 \), to tarcza z człowiekiem będzie się obracać w przeciwnym kierunku. W przypadku równości ruch człowieka zrekompensuje ruch obrotowy tarczy.

Jeżeli człowiek przejdzie na brzeg tarczy i będzie tam stał (jak w części a) zadania), to do powyższego wzoru musimy podstawić \( v = 0 \). Końcowa prędkość kątowa w tym przypadku będzie równa:

$$ \omega_a =  \frac{M\omega_0}{(M+2m)} $$

Otrzymany wynik przybiera tylko wartości dodatnie, czyli nie ma możliwości zmiany kierunku ruchu obrotowego.

W podpunkcie c)  człowiek porusza się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu tarczy co oznacza, że zamiast \( v \) musimy we wzorze końcowym podstawić \( -v \) otrzymując:

$$ \omega _c =  \frac{M\omega_0 R + 2mv}{R(M+2m)} $$

W tym przypadku również otrzymujemy wyłącznie rozwiązanie dodatnie.

Drugi sposób wyznaczenia końcowego momentu pędu człowieka

Sytuacja końcowa widziana z góry jest przedstawiona na rysunku (Rys. 2).

Rys. 2. Człowiek (punkt materialny) znajduje się na brzegu tarczy i porusza się w kierunku ruchu tarczy z prędkością o wartości \( v \) względem niej. Na rysunku zaznaczony jest również promień wodzący \( \vec{r} \) oraz styczna prędkość tarczy \( \vec{v}_t \).

Prędkość człowieka względem zewnętrznego układu współrzędnych w danej chwili czasu jest równa prędkości stycznej tarczy \( \vec{v}_t \) oraz prędkości człowieka względem tarczy \( \vec{v} \). Obie te prędkości są współliniowe, więc wartość prędkości człowieka względem ziemi wynosi \( v_{cz,zewn} =v_t + v \) . Wyliczamy moment pędu punktu materialnego korzystając z definicji:

$$ \vec{L}_{cz} = \vec{r} \times \vec{p} = \left| \begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\x & y & z \\p_x & p_y & p_z\end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\R\cos (\varphi) & R\sin (\varphi) & 0 \\ -mv_{cz,zewn}\sin (\varphi) & mv_{cz,zewn}\cos(\varphi) & 0 \end{array} \right| = \hat{k} Rmv_{cz,zewn} $$

Po podstawieniu \( v_{cz,zewn} \) z-owa składowa momentu pędu człowieka przybiera postać:

$$ L_{cz} = mR(v_t + v) $$

Podstawiając  \( v_t= \omega R \) i wyciągając \( R \) przed nawias, otrzymujemy wzór identyczny z wyznaczonym wcześniej:

$$ L_{cz} = mR^2 (\omega +\frac{v}{R}) = I_{cz} (\omega +\frac{v}{R}) $$