Title: Zderzenie doskonale sprężyste (H5P)
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Zasady zachowania

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Do linki o długości \( l \), przyczepiono kulkę o masie \( m \). Kulkę odchylono do poziomu i pozwolono jej opaść. W najniższym punkcie swej drogi kulka uderza w znajdujący się w spoczynku na poziomej powierzchni kloc o masie \( M \) (Rys. 1). Zderzenie jest sprężyste. Proszę znaleźć prędkości kulki i kloca tuż po zderzeniu.

Rys. 1. Sytuacja opisana w zadaniu.

Uwagi wstępne

Zadania, w których dochodzi do zderzeń są typowymi zadaniami, w których należy wykorzystać zasadę zachowania pędu.

Zasada zachowania pędu mówi, że jeżeli wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działających na jakiś układ jest równa zeru, to pęd tego układu jest zachowany (nie zmienia się):

$$ \sum_{i=1}^{n}\vec{p}_i = \sum_{j=1}^{m} \vec{p}_j $$

Po lewej stronie równania mamy wektorową sumę pędów wszystkich obiektów, które biorą udział w zdarzeniu, a po prawej sumę wektorową końcowych pędów wszystkich obiektów, po jakimś wydarzeniu. Proszę zwrócić uwagę, że ilość obiektów po obu stronach równania może być różna, ponieważ mogą się one ze sobą złączyć (zderzenie całkowicie niesprężyste) lub obiekt może wybuchnąć lub rozpaść się na kilka części. Trzeba pamiętać, że pęd jest wielkością wektorową.

Przy rozpatrywaniu zderzeń często korzysta się również z zasady zachowania energii. Trzeba jednak zachować bardzo dużą ostrożność przy stosowaniu tej zasady, ponieważ nie zawsze znamy wartość wszystkich rodzajów energii, które trzeba wziąć pod uwagę. Aby wykorzystać zasadę zachowania energii mechanicznej do opisania zderzenia musi być ono sprężyste (i powinna być o tym informacja w treści zadania). Zasadę zachowania energii można stosować przed zderzeniem i po zderzeniu, natomiast energia przed zderzeniem nie zawsze jest równa energii po zderzeniu (ponieważ część energii mogła zostać rozproszona co dzieje się, np. przy zderzeniach niesprężystych lub wybuchach). Jeżeli nie wiemy, czy zderzenie było doskonale sprężyste, to nie stosujemy zasady zachowania energii, lecz jedynie zasadę zachowania pędu.

Rozwiązanie zadania - od czego zacząć?

W przykładowym zadaniu mamy do czynienia z dwoma zjawiskami, które trzeba rozważyć osobno:

1. ruch kulki z punktu do którego została odchylona do momentu tuż przed zderzeniem,

2. zderzenie kulki z klocem.

Zaczniemy od rozpatrzenia ruchu kulki. Proszę zwrócić uwagę, że nie interesuje nas co się dzieje w tym czasie z klocem. Bierzemy pod uwagę zachowanie tylko jednego ciała: kulki. Możemy zastosować zasadę zachowania energii określając energię kinetyczną i potencjalną w dwóch różnych momentach dotyczących kulki.

Początkowo kulka spoczywa, więc jej energia kinetyczna wynosi zero, natomiast tuż przed uderzeniem w kloc kulka porusza się z prędkością o wartości \( v \), więc jej energia kinetyczna jest równa \( \frac{mv^2}{2} \).

Wyznaczenie energii potencjalnej, wymaga określenia w którym położeniu jest ona równa zero (energia potencjalna jest określona z dokładnością do stałej). Najwygodniej uznać dolne położenie kulki, jako poziom, gdzie energia potencjalna jest równa zero (Rys. 2). Wtedy w położeniu początkowym kulka ma energię potencjalną równą \( mgl \), a w końcowym zero.

Rys. 2 Ruch kulki przed zderzeniem. Na rysunku zaznaczono również poziom dla którego energia potencjalna jest równa 0.

Korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy:

$$ mgl+0=0+\frac{mv^2}{2} \qquad (*) $$

Proszę zwrócić uwagę, że zapisałam zerowe wartości energii, aby podkreślić, że to całkowita suma energii potencjalnej i kinetycznej jest stała (o ile działają tylko siły zachowawcze). W dowolnym punkcie pomiędzy początkowym i końcowym punktem ruchu zarówno energia kinetyczna kulki, jak i jej energia potencjalna są różne od zera, ale ich suma jest zawsze taka sama, jak wartość energii początkowej.

Korzystając z \( (*) \) wyliczamy wartość prędkości z jaką kulka uderzy w kloc:

$$ v\:= \sqrt{2gl} $$

Zderzenie

Druga część rozpatrywanego w zadaniu zjawiska dotyczy zderzenia kulki z klocem. Kulka uderza w kloc (Rys. 3) z prędkością o wartości \( v \) i kierunku poziomym, czyli jej pęd jest równy \( \vec{p} = m\vec{v} =\:[mv,\:0] \). Kloc przed zderzeniem spoczywa, więc jego pęd jest równy zero.

Rys. 3. Kulka w swoim najniższym położeniu ma prędkość \( \vec{v} \) skierowaną poziomo i z taką prędkością uderza w kloc.

Po zderzeniu poruszają się zarówno kulka, jak i kloc (Rys. 4). Można założyć, że tuż po zderzeniu zwroty prędkości zarówno kulki, jak i kloca są takie same, i są one zwrócone w prawo. Pędy kulki i kloca po zderzeniu wynoszą odpowiednio: \( \vec{p}_{k1} = m\vec{u}_1 = [mu_1, \:0] \) oraz \( \vec{p}_{k2} = M\vec{u}_2 = [Mu_2, \:0] \).

Rys. 4 Sytuacja tuż po zderzeniu. Odległość między kulą a klocem jest przesadzona, aby nie zaciemniać rysunku.

Zasada zachowania pędu będzie miała dla opisywanego zjawiska postać:

$$ mv+0\:=\:mu_1+\:Mu_2 $$

Nie trzeba pisać równania dla składowej y-owej, ponieważ jest ona równa w tym przypadku 0 we wszystkich etapach zderzenia.

W zadaniu była informacja, że zderzenie jest sprężyste, więc możemy skorzystać z zasady zachowania energii mechanicznej, która dla naszego zderzenia wyraża się równaniem:

$$ \frac{mv^2}{2}+0=\frac{mu_1^2}{2} + \frac{Mu_2^2}{2} $$

Aby rozwiązać zadanie, czyli znaleźć szukane prędkości \(u_1 \) oraz \( u_2 \) musimy rozwiązać układ równań:

$$ \: \left\{ \begin{array}{ll}
mv\:=\:mu_1+\:Mu_2\\
\frac{mv^2}{2}=\frac{mu_1^2}{2} + \frac{Mu_2^2}{2}
\end{array}  \right . $$

Sprowadzenie układu równań z którego jedno jest kwadratowe do układu równań liniowych

multiple-choice-675.h5p

Rozwiązanie c.d. i dyskusja

Otrzymujemy następujące wyniki:

$$ \left\{  \begin{array}{ll}
u_1 = v \cdot  \frac{m-M}{m+M} \\
u_2 = v \cdot \frac{2m}{m+M}
\end{array} \right. $$

Ponieważ masy są zawsze dodatnie, więc wyrażenie na \( u_2 \) jest zawsze dodatnie. To znaczy, że kloc po uderzeniu zawsze będzie się poruszał w prawo (Rys. 4 i 5).

Rys. 5 Założone zwroty wektorów prędkości kulki oraz kloca tuż po zderzeniu. Odległość między kulką a klocem jest dużo mniejsza.

Wyrażenie na \( u_1 \) ma licznik, który może przyjmować zarówno wartości ujemne, zero, jak i dodatnie. Oznacza to, że jeżeli \( m=M \) wtedy kulka uderzająca w blok zatrzyma się, a po zderzeniu będzie się poruszał tylko kloc, któremu kulka przekazała cały swój pęd. Jeżeli \( m>M \), wtedy zwrot prędkości kulki będzie taki, jak założyliśmy (Rys. 4 i 5), czyli w prawo. W przeciwnym razie kulka odbije się od kloca, czyli zwrot jej prędkości będzie w lewo. Proszę zwrócić uwagę, że taki zwrot ma prędkość kulki tuż po zderzeniu, później kulka będzie się poruszała po łuku (zwrot prędkości jest wtedy styczny do toru ruchu).

Końcowy wynik

Rozwiązania otrzymane na poprzedniej stronie, czyli

$$ \left\{  \begin{array}{ll}
u_1 = v \cdot  \frac{m-M}{m+M} \\
u_2 = v \cdot \frac{2m}{m+M}
\end{array} \right. $$

nie są rozwiązaniami końcowymi, ponieważ w treści zadania nie była dana prędkość kulki tuż przed uderzeniem. Wartość jej prędkości obliczyliśmy wcześniej korzystając z zasady zachowania energii. Podstawiamy ją teraz do układu równań otrzymując wynik zadania:

$$ \left\{  \begin{array}{ll}
u_1 = \sqrt{2gl} \cdot  \frac{m-M}{m+M} \\
u_2 = \sqrt{2gl} \cdot \frac{2m}{m+M}
\end{array} \right. $$

Te wzory wraz z dyskusją zwrotu wektorów prędkości są odpowiedzią na pytanie w zadaniu.