Title: Moment bezwładności pręta
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Dynamika bryły sztywnej

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Proszę obliczyć moment bezwładności dla pręta o długości \( l \) i masie \( m \), jeżeli oś obrotu jest prostopadła do pręta i przechodzi w odległości 1/3 od jego końca.

Uwagi wstępne

W prawie wszystkich zagadnieniach wygodnie jest przyjąć oś obrotu jako jedną z osi układu współrzędnych (ewentualnie przy bardziej skomplikowanych bryłach jako oś układu współrzędnych wybieramy oś równoległą do osi obrotu i przechodzącą przez środek masy bryły). W naszym przypadku pręt z wrysowanym układem współrzędnych jest przedstawiony na rysunku:

Wyliczenie momentu bezwładności

Korzystamy z definicji momentu bezwładności:

$$ I\:=\: \int\limits_{m} r^2 \mathrm{d} m $$

gdzie \( I \) jest momentem bezwładności względem danej osi obrotu, a \( r \) jest odległością elementu \( \mathrm{d} m \) od osi obrotu.

Pręt możemy traktować, jako ciało jednowymiarowe o gęstości liniowej masy, \( \lambda \), zdefiniowanej jako:

$$ \lambda\:=\: \frac{m}{l} $$

Pręt dzielimy na nieskończenie małe masy \( \mathrm{d} m\:=\: \lambda \cdot \mathrm{d} x \) (rys.).

Odległość danego elementu masy od osi obrotu, w wybranym przez nas układzie współrzędnych wynosi \( r = x \). Całkę obliczamy po wszystkich punktach przestrzeni, w których znajduje się masa, czyli dolna granica całkowania jest określona przez współrzędną położenia lewego końca pręta. Wynosi więc ona \( -\: \frac{1}{3} l \).

Proszę napisać górną granicę całkowania.

- 2l/3
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- (2/3)*l
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- (2*l)/3
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- 2*l/3
- @#wronganswer#@
Feedback: Niestety nie. Proszę sprawdzić sposób zapisu, ewentualnie przysłać zrzut ekranu.

Dokończenie wyliczenia

Podstawiamy granice całkowania i obliczamy całkę:

$$ I\:=\: \int\limits_{-\frac{l}{3}}^{\frac{2l}{3}}  x^2 \lambda \mathrm{d} x \:=\: \lambda \big[ \frac{x^3}{3} \big] \Big| _{\frac{-l}{3}}^{\frac{2l}{3}} \:=\:  \frac{\lambda}{3} \cdot \big(  \big( \frac{2l}{3} \big)^3 - \big(\frac{-l}{3} )^3 \big) \big) $$

$$ I\:=\: \frac{\lambda}{3} \cdot \frac{l^3}{3} = \frac{m}{l} \cdot \frac{l^3}{9} = \frac{ml^2}{9} $$

Moment bezwładności pręta o masie \( m \) i długości \( l \) względem osi obrotu przechodzącej w odległości 1/3 pręta i prostopadłej do niego wynosi:

$$ I\:=\: \frac{ml^2}{9} $$

Ten sam wynik można uzyskać korzystając z twierdzenia Steinera, co zrobimy dalej.

Twierdzenie Steinera - wprowadzenie

Twierdzenie Steinera mówi, że jeżeli znamy moment bezwładności bryły o masie \( m \), względem osi obrotu przechodzącej przez jej środek masy, \( I_0 \); a chcemy wyliczyć moment bezwładności, \( I \), tej bryły względem osi obrotu równoległej do niej i odległej od niej o \( d \) (Rys. 3); to jest on dany równaniem:

$$ I\:=\: I_0 \ + \ md^2 $$

Rys. 3. Przykładowa bryła z zaznaczonym środkiem masy oraz przechodzącą przez niego osią obrotu ( \( z_0 \) ) oraz oś do niej równoległa, odległa od niej o \( d\).

Twierdzenie to jest bardzo przydatne, gdy np. chcemy wyliczyć moment bezwładności np. względem chwilowej osi obrotu dla obracającego się koła (Rys. 4).

Rys. 4. Koło samochodowe widziane z boku i z tyłu oraz osie obrotu: przechodząca przez środek masy oraz chwilowa oś obrotu. Odległość między tymi osiami wynosi tutaj \( R \).

Koło samochodowe można potraktować jako walec. Wyliczenie momentu bezwładności poprzez całkowanie względem chwilowej osi obrotu byłoby bardzo trudne, natomiast łatwo jest wyliczyć moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy i następnie skorzystać z twierdzenia Steinera. Moment bezwładności walca względem osi z wynosi \( I= \frac{mR^2}{2}+ mR^2 = \frac{3}{2} mR^2 \)

W przypadku pręta, całka jest na tyle łatwa do policzenia, że można nie docenić wygody skorzystania z prostego wzoru. Warto jednak to zrobić w charakterze ilustracji zastosowania tego twierdzenia.

Twierdzenie Steinera

Ile wynosi odległość naszej osi obrotu od osi obrotu przechodzącej przez środek masy pręta?

- l/6
Feedback: Prawidłowa odpowiedź.
- @#wronganswer#@
Feedback: Niestety nie.

Wyliczenie momentu bezwładności z twierdzenia Steinera

Moment bezwładności dla pręta względem osi obrotu przechodzącej przez jego środek masy wynosi:

$$ I_0 \ = \ \frac{ml^2}{12} $$

Korzystając z twierdzenia Steinera otrzymujemy:

$$ I \ = \ \frac{ml^2}{12} \ + \ md^2 \ = \ = \frac{ml^2}{12} \ + \ m \big( \frac{l}{6} \big)^2 \:=\: \frac{ml^2}{9} $$

Otrzymaliśmy ten sam wynik.

Uwaga: na kolokwium zwykle trzeba wyprowadzić wzór na  \( I_0 \), więc w przypadku pręta łatwiej jest policzyć całkę. Z twierdzenia Steinera warto korzystać w przypadku bardziej skomplikowanych brył np. dla kuli, walca, stożka i in.