Title: Moc samochodu (H5P)
Course: Jak rozwiązywać zadania z fizyki - mechanika > Section: Praca, moc

Opracowała Joanna Janik-Kokoszka

Treść zadania

Dwa samochody o jednakowej masie wyruszają równocześnie i jadą z różnymi, lecz stałymi przyspieszeniami. Po pewnym czasie pierwszy samochód osiągnął prędkość k razy większą od drugiego. Ile razy średnia moc rozwijana przez pierwszy samochód jest większa od mocy rozwijanej przez drugi, jeżeli opory ruchu można pominąć?

Uwagi wstępne

Zadanie można rozwiązać na trzy sposoby:

1. korzystając z twierdzenia o pracy i energii kinetycznej

2. korzystając z definicji mocy

3. wyliczając średnią moc.

Oczywiście wynik zadania jest taki sam we wszystkich przypadkach. Pokazuję analizę wszystkich rozwiązań, ponieważ na kolokwiach pojawia się dużo błędów w tym zadaniu.

Sposób 1: korzystamy z twierdzenia o pracy i energii

Moc jest zdefiniowana jako stosunek pracy do czasu, w którym jest (lub może być) ona wykonana

$$ P\:= \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} $$

Praca jest zdefiniowana jako:

$$ W\:=\:\vec{F}\circ \vec{r} $$

Wyprowadzimy teraz twierdzenie o pracy i energii kinetycznej. Bez tracenia ogólności możemy rozważyć ruch jednowymiarowy. Wtedy:

$$ W\:=\:\vec{F}\circ \vec{r} = Fx\cos(\alpha) = ma\cdot x $$

Korzystając ze wzorów wyprowadzonych dla ruchu jednostajnie przyspieszonego w jednym wymiarze:

$$ \: \Big\{ \begin{array}{ll}
v\:=\:at+v_0\\
x\:= \frac{at^2}{2} +v_0t
\end{array}  $$

Wyliczamy z pierwszego równania

$$ t = \frac{v-v_0}{a} $$

i podstawiając do drugiego równania otrzymujemy:

$$ x= \frac{a}{2} \cdot \frac{(v-v_0)^2}{a^2}+\:v_0 (v-v_0)\:=\: \frac{v^2-v_0^2}{2a} $$

Praca jest w takim razie równa:

$$ W\:=\:ma \cdot \frac{v^2-v_0^2}{2a} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} =\: \Delta E_k $$

Pokazaliśmy więc, że praca siły, która zmienia prędkość ciała jest równa zmianie energii kinetycznej tego ciała.

Samochód startuje, więc jego prędkość początkowa wynosi 0, zmiana energii kinetycznej w tym przypadku jest równa:

$$ W\:=\: \Delta E_k = \frac{mv^2}{2} - \:0 = \frac{mv^2}{2} $$

Proszę policzyć moc tego samochodu i sprawdzić wynik na następnej stronie.

Rozwiązanie c.d.

Moc samochodu, który wystartował i osiągnął prędkość \( v \) wynosi więc:

$$ P\:= \frac{W}{t} = \frac{mv^2}{2t} $$

Prędkość samochodu 1 jest \( k \) razy większa niż prędkość samochodu 2, czyli:

$$ v_1 = kv_2 $$

Stosunek mocy samochodu 1 do 2 wynosi:

$$ \frac{P_1}{P_2} = \frac{mv_1^2}{2t}\frac{2t}{mv_2^2} = \Big( \frac{v_1}{v_2} \Big)^2 = k^2 $$

Drugi sposób - bezpośrednio z definicji mocy

Z definicji mocy dla przypadku jednowymiarowego

$$ P\:= \frac{W}{t} = \frac{F\cdot x}{t} = \frac{ma \cdot x}{t} $$

Wzory dla ruchu jednostajnie przyspieszonego z prędkością początkową 0:

$$ \: \Big\{ \begin{array}{ll}
a\:=\frac{v}{t}\\
x\:= \frac{at^2}{2}
\end{array}  $$

Podstawiamy do wzoru na moc:

$$ P\:= \frac{ma \cdot x}{t} = \frac{ma}{t} \cdot \frac{at^2}{2} = \frac{ma^2t}{2} = \frac{mt}{2} \Big(\frac{v}{t} \Big)^2 =\frac{mv^2}{2t}$$

Otrzymaliśmy identyczny wynik.

Średnia prędkość

guess-the-answer-693.h5p

Zakończenie

Ponieważ samochody startowały ze spoczynku, więc \( v_0 \) = 0 i średnia prędkość jest równa \( \frac{v}{2} \), czyli wzór na moc ma postać:

$$ P_{śr} = F \cdot \frac{v}{2} = ma \frac{v}{2} = m\frac{v}{t} \frac{v}{2} = \frac{mv^2}{2t} $$

Jest to taki sam wzór, jak otrzymaliśmy poprzednio. Stosunek średnich mocy samochodów będzie więc wynosił:

$$ \frac{P_1}{P_2} = \frac{mv_1^2}{2t}\frac{2t}{mv_2^2} = \Big( \frac{v_1}{v_2} \Big)^2 = k^2 $$