1.2.2   Zaokrąglanie liczb przy mnożeniu i dzieleniu

Przy wykonywaniu operacji mnożenia i dzielenia liczb o różnej dokładności w wyniku końcowym należy zachować tyle cyfr, ile ma liczba o największym błędzie względnym.

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wartości liczby.

Przykład 2.

Określ wartość ułamka (będącego wyliczeniem objętości gazu w równaniu Clapeyrona):

Rozwiązanie:

Po wykonaniu odpowiednich działań na kalkulatorze można otrzymać wynik obliczeń

Czy wszystkie cyfry w wyniku są znaczące i powinny być umieszczone w wyniku końcowym? Czy rzeczywiście możemy podać wynik z tak dużą dokładnością?

Przyjmując, że wartość każdej liczby, w rozważanym ułamku, podano z dokładnością do jednostki na ostatnim miejscu po przecinku ustalamy liczbę o największym błędzie względnym:

Jak wynika z obliczeń z największym błędem względnym została podana liczba 0,314. Zawiera ona trzy cyfry znaczące i wynik końcowy może mieć też tylko trzy cyfry znaczące. Oznacza to, że prawidłowy wynik po zaokrągleniu wynosi 0,00770. W otrzymanym wyniku zero na piątym miejscu po przecinku jest cyfrą znaczącą. Początkowe zera w liczbie 0,00770 nie są znaczące, a jedynie oznaczają rząd wielkości liczby. Pozostałe, to cyfry znaczące, łącznie z ostatnim zerem, które oznacza, że obliczenie wykonano z dokładnością 0,00001. Zapis 0,0077 oznaczałby dokładność obliczeń o jeden rząd mniejszą.

Odpowiedź

Obliczona wartość

wynosi 0,00770.

Przykład 3.

Oblicz masę molową wodorosiarczanu(VI) magnezu Mg(HSO₄)₂ znając masy molowe: M_Mg = 24,305 g. M_H = 1,00794 g, M_S = 32,06 g, M_O = 15,9994 g.

Rozwiązanie

Masę molową związku oblicza się sumując masy molowe pierwiastków z uwzględnieniem współczynników występujących we wzorze chemicznym:

We wzorze mamy operacje mnożenia przez liczby całkowite 2 i 4. Czy oznacza to, że zostały podane z dokładnością 1? Oczywiście nie. Współczynniki stechiometryczne w równaniach chemicznych i wzorach są stałymi i można przyjąć, że zostały oznaczone z dowolnie dużą dokładnością nie decydującą o dokładności wykonanych obliczeń. Mnożenie, zatem należy wykonać z dokładnością, z jaką podano masy molowe pierwiastków.

O dokładności obliczenia sumy mas molowych decyduje dokładność masy molowej siarki, której masa molowa została podana z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.

Odpowiedź

Masa molowa wodorosiarczanu(VI) magnezu Mg(HSO₄)₂ wynosi 218,44 g.